8. 设f(logx)＝ , ①.求f(x)的定义域；　 ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。　 ③.求证：f(n)>n　　 (n>1且n∈N)

7.　　　 已知数列{a}满足a＝1，a＝acosx+cos[(n－1)x]，　 (x≠kπ，n≥2且n∈N)。

　　 ①．求a和a；　 ②.猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测。

6. 数列{a}的通项公式a＝　 (n∈N)，设f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。

5.　　 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx|　 (n∈N)。　 (85年广东高考)

4.　　 用数学归纳法证明等式：cos·cos·cos·…·cos＝　 (81年全国高考)

3.　　 n∈N，试比较2与(n+1)的大小，并用证明你的结论。

2.　　 用数学归纳法证明： 1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)＝n(n+1)　 (n∈N)。

1.　　 用数学归纳法证明：6+1　 (n∈N)能被7整除。

6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k+1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)+_________。

Ⅱ、示范性题组：

例1.　　 已知数列，得，…，，…。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。　 (93年全国理)

[解] 计算得S＝，S＝，S＝，S＝ ， 猜测S＝　 (n∈N)

当n＝1时，…

[注] 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。　 (试值 → 猜想 → 证明)

[另解] 用裂项相消法求和：

例2. 设a＝++…+　 (n∈N),证明：n(n+1)<a<(n+1) 。

[解] 当n＝1时，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2 ， ∴ n＝1时不等式成立。

假设当n＝k时不等式成立，即：k(k+1)<a<(k+1) ，

当n＝k+1时，k(k+1)+<a<(k+1)+

…

[注] 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。

[另解] 也可采用放缩法直接证明。(抓住对的分析，注意与目标比较)

例3. 设数列{a}的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S＝，证明{a}是等差数列。　 (94年全国文)

[分析] 要证等差数列，即证：a＝a+(n－1)d

[解] 设a－a＝d，猜测a＝a+(n－1)d

当n＝1时，a＝a，　 ∴ 当n＝1时猜测正确。

假设当n＝k时，猜测正确，即：a＝a+(k－1)d ，

当n＝k+1时，a＝S－S＝－， 解得a＝…

…

[注] 注意问题转化成数学式及a的得出。

[另解] 可证a －a＝ a－ a而得：

Ⅲ、巩固性题组：

5. 用数学归纳法证明3+5　 (n∈N)能被14整除，当n＝k+1时对于式子3+5应变形为_______________________。