9．(磨中)设函数f(x)=log_b(b>0且b≠1)，

(1)求f(x)的定义域；

(2)当b>1时，求使f(x)>0的所有x的值。

解　 (1)∵x²－2x+2恒正，

∴f(x)的定义域是1+2ax>0，

即当a=0时，f(x)定义域是全体实数。

当a>0时，f(x)的定义域是(－，+∞)

当a<0时，f(x)的定义域是(－∞，－)

(2)当b>1时，在f(x)的定义域内，f(x)>0>1x²－2x+2>1+2ax

x²－2(1+a)x+1>0

其判别式Δ=4(1+a)²－4=4a(a+2)

(i)当Δ<0时，即－2<a<0时

∵x²－2(1+a)x+1>0

∴f(x)>0x<－

(ii)当Δ=0时，即a=－2或0时

若a=0,f(x)＞0(x－1)²>0

x∈R且x≠1

若a=－2,f(x)＞0(x+1)²＞0

x＜且x≠－1

(iii)当△＞0时，即a＞0或a＜－2时

方程x²－2(1+a)x+1=0的两根为

x₁=1+a－,x₂=1+a+

若a＞0，则x₂＞x₁＞0＞－

∴或

若a<－2，则

∴f(x)＞0x＜1+a－或1+a+＜x＜－

综上所述：当－2＜a＜0时，x的取值集合为x|x＜－

当a=0时，x∈R且x≠1，x∈R，当a=－2时：x|x＜－1或－1＜x＜

当a＞0时，x∈x|x＞1+a+或－＜x＜1+a－

当a＜－2时，x∈x|x＜1+a－或1+a+＜x＜－

错误原因：解题时易忽视函数的定义域，不会合理分类。

8．(搬中)方程的两根都大于2，求实数的取值范围。

　　 解：设方程的两根为，则必有

　　 说明：此题易犯这样的错误：

　　 且

　　 和判别式联立即得的范围

　　 原因是只是的充分条件

　　 即不能保证同时成立

7．(搬中) 若且，解不等式：

　　 解：若，两边取以为底的对数

　　 若，同样有，

　　 又

　　 当时不等式的解为

　　 当时不等式的解为

　　 说明：此题易在时的解中出错，容易忽略这个条件。解决对数问题要注意真数大于0的条件。

7．(搬中)解不等式：。

　　 解：当时，原不等式为

　　 当时，原不等式为

　　 又

　　 原不等式的解为

　　 说明：此题易在时处出错，忽略了的前提。这提醒我们分段求解的结果要考虑分段的前提。

6．(搬中)求函数的最大值。

　 　解：

　　 当且仅当

　　 即时，

　　 　　 说明：此题容易这样做：

。但此时等号应满足条件，这样的是不存在的，错误的原因是没有考虑到等号成立的条件。这一点在运用重要不等式时一定要引起我们高度的重视。

5．(搬中) 求函数的极大值或极小值。

　　 解：当时，

　　 当且仅当

　　 即时，

　　 当时，

　　 当且仅当

　　 即时，

　　 说明：此题容易漏掉对的讨论。不等式成立的前提是。

4．(搬中) 若，解关于的不等式：。

　 　解：令

　　 则

　　 的判别式

　　 恒成立

　　 原不等式的解为

　　 说明：此题容易由得出的错误结论。解有关不等式的问题，一定要注意含参数的表达式的符号，否则易出错误。

3．(搬中) 设，且，求的取值范围。

　　 解：令

　　 则

　　 比较系数有

　　 即

　　 说明：此题极易由已知二不等式求出的范围，然后再求即的范围，这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一定相同，用待定系数法则容易避免上述错误。

2．(如中)已知适合不等式的x的最大值为3，求p的值。

错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x的最大值为3”的含义。

正解：因为x的最大值为3，故x-3<0,原不等式等价于，

即，则，

设(1)(2)的根分别为，则

若，则9-15+p-2=0，p=8

若，则9-9+p+2=0,p=-2

当a=-2时，原方程组无解，则p=8

1．(如中)是否存在常数 c，使得不等式对任意正数 x,y恒成立？

错解：证明不等式恒成立，故说明c存在。

正解：令x=y得，故猜想c=,下证不等式恒成立。

要证不等式，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2 x+y)(x+2y),也即证,即2xy≤，而此不等式恒成立，同理不等式也成立，故存在c=使原不等式恒成立。