5.设函数f(x)=x³－－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f(x)>m，则实数m的取值范围是________.

解析：(x)=3x²－x－2=0，x=1，－，

f(－1)=5，f(－)=5，f(1)=3，f(2)=7.

∴m<3.

答案：m∈(－∞，)

●典例剖析

[例1] (2004年天津，20)已知函数f(x)=ax³+bx²－3x在x=±1处取得极值.

(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；

(2)过点A(0，16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.

剖析：(1)分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右(x)的符号.

(2)要分清点A(0，16)是否在曲线上.

解：(1)(x)=3ax²+2bx－3，依题意，(1)=(－1)=0，即

解得a=1，b=0.

∴f(x)=x³－3x，(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1).

令(x)=0，得x=－1，x=1.

若x∈(－∞，－1)∪(1，+∞)，则(x)＞0，

故f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，+∞)上是增函数.

若x∈(－1，1)，则(x)＜0，故f(x)在(－1，1)上是减函数.

所以f(－1)=2是极大值，f(1)=－2是极小值.

(2)曲线y=x³－3x，点A(0，16)不在曲线上，设切点M(x₀，y₀)，则y₀=x₀³－3x.

∵(x₀)=3x₀²－3，

∴切线方程为y－y₀=3(x₀²－1)(x－x₀).

代入A(0，16)得16－x₀³+3x₀=3(x₀²－1)(0－x₀).

解得x₀=－2，∴M(－2，－2)，切线方程为9x－y+16=0.

评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.

[例2] (2004年天津，21)已知函数f(x)=ax³+cx+d(a≠0)是R上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值－2.

(1)求f(x)的单调区间和极大值；

(2)证明：对任意x₁、x₂∈(－1，1)，不等式|f(x₁)－f(x₂)|＜4恒成立.

剖析：∵x∈R且f(x)是奇函数，

∴f(0)=0.

又x=1是极值点，∴(1)=0，由此可得函数的解析式.

(1)解：由奇函数定义，

应有f(－x)=－f(x)，x∈R，－ax³－cx+d=－ax³－cx－d，∴d=0.

因此f(x)=ax³+cx，(x)=3ax²+c.

由题意知

解得a=1，c=－3.

∴f(x)=x³－3x，(x)=3x³－3=3(x－1)(x+1)，(－1)=(1)=0.

当x∈(－∞，－1)时，(x)＞0，故f(x)在单调区间(－∞，－1)上是增函数，

当x∈(－1，1)时，(x)＜0，故f(x)在单调区间(－1，1)上是减函数，

当x∈(1，+∞)时，(x)＞0，故f(x)在单调区间(1，+∞)上是增函数.

∴(－∞，－1)和(1，+∞)为增区间；

(－1，1)为减区间，x=－1时，f(－1)=2为极大值，

x=－1时，f(1)=－2为极小值.

(2)f(－1)=2，f(1)=－2.

∵f(x)在(－1，1)上是减函数，

∴对任意x₁、x₂∈(－1，1)，有－2<f(x₁)<2，－2<f(x₂)<2，

－4<f(x₁)－f(x₂)<4，即|f(x₁)－f(x₂)|<4.

评述：由奇函数定义可知当x=0时，则有f(0)=0，即函数过原点.对于本题的第(2)问，用数形结合法较为直观.

[例3] 设函数f(x)=x³+mx²+nx+p在(－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x=2是方程f(x)=0的一个根.

(1)求n的值；

(2)求证：f(1)≥2.

剖析：由题知x=0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢?

解：(1)(x)=3x²+2mx+n.

∵f(x)在(－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，

∴当x=0时，f(x)取到极大值.

∴(0)=0.∴n=0.

(2)∵f(2)=0，∴p=－4(m+2)，

(x)=3x²+2mx=0的两个根分别为x₁=0，x₂=－，

∵函数f(x)在［0，2］上是减函数，

∴x₂=－≥2.∴m≤－3.

∴f(1)=m+p+1=m－4(m+2)+1=－7－3m≥2.

评述：此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f(1)≥2时，首先将f(1)化成关于m的式子，知道m的范围，便可证之.

[例4] 对于函数y=f(x)(x∈D)若同时满足下列两个条件，则称f(x)为D上的闭函数.

①f(x)在D上为单调函数；

②存在闭区间［a，b］D，使f(x)在［a，b］上的值域也是［a，b］.

(1)求闭函数y=－x³符合上述条件的区间［a，b］；

(2)若f(x)=x³－3x²－9x+4，判断f(x)是否为闭函数.

剖析：这是个知识迁移题，这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力.

解：(1)∵y=－x³，∴y′=－3x²≤0.

∴函数y=－x³为减函数.

故即

∴所求闭区间为［－1，1］.

(2)(x)=3x²－6x－9.

由(x)≥0，得x≥3或x≤－1.

由(x)≤0，得－1≤x≤3.

∴f(x)在定义域内不是单调函数.故f(x)不是闭函数.

评述：这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的能力.

●闯关训练

夯实基础

4.已知函数y=x³+ax²+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=________.

解析：y′=3x²+2ax+b，－1、3是3x²+2ax+b=0的两根，∴a=－3，b=－9.

答案：－12

3.已知f(x)=2x³－6x²+m(m为常数)在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是

A.－37　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.－29

C.－5　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.以上都不对

解析：(x)=6x(x－2)，f(x)在(－2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数的，x=0时，f(x)=m最大.

∴m=3，f(－2)=－37，f(2)=－5.

答案：A

2.函数f(x)=x³－3bx+3b在(0，1)内有极小值，则

A.0<b<1　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 B.b<1

C.b>0　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.b<

解析： (x)=3x²－3b，当b>0，0<<1时，适合题意.

答案：A

1.函数f(x)=x³－3x+1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是

A.1，－1　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 B.1，－17

C.3，－17　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.9，－19

解析：(x)=3x²－3=0，x=±1，f(－3)=－17，f(0)=1，f(1)=－1，f(－1)=3.

答案：C

2.设y=f(x)是一多项式函数，比较函数在闭区间［a，b］内所有的极值，以及f(a)和f(b)，最大者为最大值，最小者为最小值.

●点击双基

1.若函数f(x)有导数，它的极值可在方程(x)=0的根处来考查，求函数y=f(x)的极值方法如下：

(1)求导数(x)；

(2)求方程(x)=0的根；

(3)检查(x)在方程(x)=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值.

13.3　 导数的综合问题

●知识梳理

18、已知函数

(1)求在函数图象上点A处的切线的方程；

(2)若切线与y轴上的纵截距记为，讨论的单调增区间。

17、已知函数在上是增函数，。当时，函数的最大值与最小值的差为，试求的值。