7．某公司生产一种产品，固定成本为2000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收入R

　　　　　　　　　　　　　 －+400x,　　 0≤x≤390

与年产量x的关系是R(x)=　　　　　　　　　　　　　　　　 则总利润最大时，每年生产的产品单

　　　　　　　　　　　　　 90090,　　　　　 x＞390

位数是(　　 )

　 A．150　　　　　　　　 B．200　　　　 　　C．250　　　　　　 D．300

联想：(1)设函数y=f (x)是一次函数，若f (1)=－1，且f′(－2)=－4，则f (x)为(　　 )

　 A．y=－4x+3　　　　　 B．y=4x－3　　　　 C．y=－4x　　　　 D．y=－x

(2)如果函数y=x⁴－8x²+c在[－1，3]上的最小值是－14，那么c=(　　 )

　 A．1　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　 C．－1　　　　　　 D．－2

(3)设函数f (x)=x³+ax²+bx+c，且f (0)=0，若f (0)是函数的极值，则(　　 )

　 A．b≠0　　 B．当a＞0时，f (0)为极大值　　 C．b=0　　 D．当a＜0时，f (0)为极小值

(4)已知函数f (x)=－，则=　　　　 。

(5)设函数f (x)=x³+ax²+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x³+ax²+bx的单调递减区间为　　　 　　。

6．等比数列{a_n}公比为q，则“a₁＞0，且q＞1”是“对于任意自然数n，都有a_n+1＞a_n”的(　　 )

　 A．充分非必要条件　　 B．必要非充分条件　　 C．充要条件　　　 D．既非充分又非必要条件

联想(1)数列满足条件：①任意连续二项的和大于零；②任意连续三项的和小于零；则这样的数列最多有　　　　 项。

(2)a、b为不相等的正实数，且a,x,y,b成A·P,a,m,n,b成G·P，则下列关系成立是(　　 )

A．x+y＞m+n　　 B．x+y=m+n　　 C．x+y＜m+n　　　 D．x+y与m+n的大小关系不定

(3)数列{a_n}是公差不为零的等差数列，并且a₅，a₈，a₁₃是等比数列{b_n}的相邻三项。若b₂=5，则b₂等于(　　 )

　 A．5·　　　 B．5·　　 C．3·　　　 D．3·

5．若不等式＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则a的取值范围是(　　 )

　 A．a≥1　　　 B．a≥3　　　 C．a≤1　　　　 D．a≤3

联想：(1)若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是(　　 )

　 A．a≥1　　　　 B．a≤1　　　　 C．a≥－1　　　　 D．a≤0

(2)f (x)的图象是如图两条线段，它的定义域是，

则不等式f (x)－f (－x)＞－1的解集是　　　　　　 。

(3)若对实数恒有，则实数m的取值范围是　　 　　　　。

4．已知△ABC中，≤0，sinA+cosA≥1，则∠A为(　　 )

　 A．=90°　　　　 B．≠90°　　　 C．＞90°　　　　 D．＜90°

联想：(1)若(　　 )

　 A．30°　　　B．60°　　C．120°　　　D．150°

(2)已知点A(2，1)，B(1，2)，且，则点P(x,y)的轨迹方程是　　　　　 。

(3)已知向量关于y轴对称，且=1，则点P(x,y)的轨迹方程是　　　　 。

(4)在△ABC中，，且，则的值为　　　　　 。

(5)已知向量两两所成的角相等，且不共线，，则向量的长度为　　　　　 ，向量的夹角为　　　　 。

(6)若的夹角为120°，则=　　　 。

3．已知sinα=－，α∈，则α+β是(　　 )

　 A．第一象限　　　　　 B．第二象限　　　　　 C．第三象限　　　　　 D．第四象限

联想：(1)若2sin²α+sin²β－2sinα=0，则cos²α+cos²β的取值范围是(　　 )

　 A．[1，5]　　　　　　　 B．[1，2]　　　　　　 C．[1，]　　　　 D．[－1，2]

(2)若f (x)=sin(x+),x∈，且关于x的方程f (x)=m有两个不等实根x₁，x₂，则x₁+x₂为(　　 )

　 A．　　　 B．　　　 C．　　　　 D．不确定

(3)计算=　　　　 。

(4)已知tanα=2，tan(α－β)=－，那么tanβ=　　　　 。

2．已知a＞0且a≠1，f (x)=x²－a^x，当x∈(－1，1)时，均有f (x)＜，则实数a的取值范围是(　　 )

　 A．　　 B．　　 C．　　 D．

联想：(1)设函数f (x)=x+bx+c，给出四个命题：①c=0时，y=f (x)是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f (x)=0只有一个实数根；③y=f (x)的图象关于点(o,c)对称；④方程f (x)=0至多有两个实根。上述命题中所有正确的命题的序号是　　　　　 。

(2)若不等式(关于x)＞2ax的解集为(0，2)，则实数a的取值范围是　　　　 。

(3)函数f (x)=log_ax在x∈时，＞1恒成立，则实数a的取值范围为(　　 )

　 A．＜a＜2且a≠1　　 B．1＜a＜2　　 C．0＜a＜1或1＜a＜2　　 D．a＞2或0＜a＜

(4)方程sinx+cosx=a在上有两个相异实根α，β，则实数a的取值范围是　　　　 ，tan(α+β)=　　　　 。

1．函数f (x)满足f (x+3)=x，若f^－1(x)的定义域为[1，4]，则f (x)的定义域为(　　 )

　 A．[1，4]　　　　 B．[2，8]　　　　 C．[4，7]　　　 D．[3，7]

联想：(1)函数f (x)=a^x(a＞0且a≠1)，f^－1(2)＜0，则f^－1(x+1)的图象是(　　 )

(2)函数y=(x≤－1)的反函数是　　　　　　　 。

(3)函数f (x)与g (x)的图象关于直线y=x对称，函数h (x)的反函数是g (x－2)，若f (3)=7,则h (3)=

　　　　　　 。

(4)若函数y=x²－4tx+5在x∈(1，+∞)上存在反函数，则t的取值范围是　　　　　　 。

(5)点(2，2)既在函数f (x)=的图象上，又在其反函数的图象上，则适合条件的数组(a，b)有(　　 )

　 A．1组　　 　　　　B．2组　　　　　 C．3组　　　　　 D．无数组

(6)若函数f (x)=的反函数是f^－1(x)=，则a=(　　 )

　 A．1　　　　　　　 B．－2　　　　　 C．2　　　　　　　 D．1或－2

例8、如图是一个类似“杨辉三角”的图形，第n行共有n个数，且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n－1行与之相邻的两个数的和， 分别表示第n行的第一个数，第二个数，…….第n 个数。

求的通项式。

解：(1)由图易知从而知是一阶等差数列，即

以上n-1个式相加即可得到：

评析：“杨辉三角”型数列创新题是近年高考创新题的热点问题。求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系，通常需转化成一阶(或二阶)等差数列结合求和方法来求解。有兴趣的同学不妨求出的通项式。

例7、如图，第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的。记第n个图形的顶点数为，则=　 。　

解：由图易知：从而易知

评析：求解几何计数问题通常采用“归纳-猜想-证明”解题思路。本题也可直接求解。第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的，这个图形共由n+3个n+2边形组成，而每个n+2边形共有n+2个顶点，故第n个图形的顶点数为。