(二)直线方程

1. 直线方程的五种形式及适用范围

(1)斜截式：　 不含与轴垂直的直线

(2)点斜式：　 不含与轴垂直的直线

(3)两点式：　　 不含与轴、轴垂直的直线

(4)截矩式：　　 不含过原点和与轴、轴垂直的直线

(5)一般式：　 无限制(可表示任何直线)

注：两点式的“改良”　 可表示任何直线。

2. 直线系：

(1)平行直线系：　 (为待定系数，斜率已知)

(2)过定点直线系：　 (为待定系数，点为已知)

(3)过两直线交点的直线系：已知；，则　 (为参数--待定系数)

L是过与交点的直线系　 (不含)

若，则L是与与平行的直线系。

注：(1)与已知直线平行的直线系：(为参数)

(2)与已知直线垂直的直线系：(为参数)

(一)直线的倾斜角()和斜率()

1. 定义　 倾斜角范围　　 斜率：

2. 与的关系：

注：准确地把握这两个概念，关注斜率不存在带来的问题。

[例] (1)直线的斜率　　　 ，倾斜角　　　 。

(2)若，则直线的斜率　　　 ，倾斜角　　　　 。

拓展：取消的限制，结论如何。

(3)直线L过点且与以，为端点的线段PQ相交，则斜率的取值范围　　　　 ，倾斜角的取值范围　　　　 　。

(4)若，则　　　　　 。

(5)若时，则　　　　　 。

答案：(1)；　　 (2)；

(3)；

(4)　　 (5)

　　 直线

9．.(全国II)如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝

(A)2∶1　　 (B)3∶1　　 (C)3∶2　　　 (D)4∶3

解析:连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为

,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A

[典型考例]

例1．(P₇₅例3)　 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱　　　 (I)证明平面　　　 (II)设证明平面

(19)本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。满分12分。

　　　 (I)证明：取CD中点M，连结OM。

　　　 在矩形ABCD中，

　　　 又

　　　 则连结EM，于是

　　　 四边形EFOM为平行四边形。

　　　 又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。

　　　 (II)证明：连结FM。由(I)和已知条件，在等边中，

　　　 且

　　　 因此平行四边形EFOM为菱形，从而。

　　　 平面EOM，从而

　　　 而所以平面

例2．　　 如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，AB=5点D是AB的中点，　 (I)求证：AC⊥BC₁；　 (II)求证：AC ₁//平面CDB₁；　 (III)设BD₁的中点为F，求三棱锥B₁-BEF的体积

证：(I)直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC₁；

(II)设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC₁的中点，∴ DE//AC₁，

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；

例2．已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角

　(Ⅰ)证明：AC⊥BO₁；

(Ⅱ)求点O₁到平面AOC的距离。

(III)求四面体O₁-ACO的体积。

(I)证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

　　　 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

　　　 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO₁

 所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

　　　 如图3，则相关各点的坐标是A(3，0，0)，

　　　 B(0，3，0)，C(0，1，)O₁(0，0，).

从而

　　　 所以AC⊥BO₁.

例3.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求四面体B-AED的体积。

解：(1)由平面可得PA^AC

又，所以AC^平面PAB，所以

(2)如图，连BD交AC于点O，连EO，则

EO是△PDB的中位线，\EOPB

\PB平面

(3)如图，取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，\EFPA又平面，\EF^平面

同理FO是△ADC的中位线，\FOAB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF\ÐEOF＝45°而二面角与二面角E－AC－D互补，故所求二面角的大小为135°.

例4．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点。(Ⅰ)当B₁M⊥AN时，求CN的长度；(Ⅱ)若CN=时，求点B₁到平面AMN的距离。

8．已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：①若②若

③若；④若a与b异面，且相交；　 ⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.　 其中真命题的个数是　　　　　　　　　　　　 (　　 )　　　　　　　　　 A．1子 B．2　　 C．3　　 D．4

7.给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题:

③　　 则与m不共面；、m是异面直线，；

④　　 若；若，则

其中为假命题的是　　　　　　　 (C)(A)①　 (B)②　 (C)③　 (D)④

5.(上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 　　　　　　　　　．

解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；6. 在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是(C)

　(A)BC//平面PDF　 (B)DF⊥平面PA E

(C)平面PDF⊥平面ABC　 (D)平面PAE⊥平面 ABC

4．(上海卷)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的　 ( )

(A)充分非必要条件；(B)必要非充分条件；(C)充要条件；(D)非充分非必要条件

解：充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：1)第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；2)第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；　 故选(A)

2．(北京卷)平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是　　 　

(A)一条直线　 (B)一个圆(C)一个椭圆　　　　 (D)双曲线的一支

1．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：　　 ①若，，则；②若，，则；③若，，，则；

④若m、n是异面直线，，，，，则，其中真命题是

　　 　 A.①和②　　 B.①和③　　　 C.③和④　　　 D.①和④