1．(安徽10)若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为(　 D　 )

A．　　　 B．　　 C．　　　　　 D．

20．(陕西19)(本小题满分12分)

三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，为中点．

(Ⅰ)证明：平面平面；

(Ⅱ)求二面角的大小．

解法一：(Ⅰ)平面平面，

．在中，，为中点

．又，平面，

平面，平面平面．

(Ⅱ)如图，作交于点，连接，

由已知得平面．

是在面内的射影．

由三垂线定理知，

为二面角的平面角．

过作交于点，

则，，

．

在中，．

在中，．

，

即二面角为．

解法二：(Ⅰ)如图，建立空间直角坐标系，

则，

为中点，点坐标为．

，．

，，，，又，

平面，又平面，平面平面．

(Ⅱ)平面，如图可取为平面的法向量，

设平面的法向量为，则．

，

如图，令，则，

，

即二面角为为所求．

19．(湖北18).(本小题满分12分)

　 如图，在直三棱柱中，平面侧面

　 (Ⅰ)求证：

　 (Ⅱ)若，直线AC与平面所成的角为，二面角

(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，则

由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面

A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

则AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁,

又AB侧面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

　 (Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA₁=j.

　　 　于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D＝,

　　　 ∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ与∠AA₁D都是锐角，所以θ＝∠AA₁D.

　　　 又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D+j＝∠AA₁B+j＝，故θ+j＝.

　　　 证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=c(c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),

A₁(0,c,a)，于是，＝(0，c,a),

,=(0,c,a)

设平面A₁BC的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

可取n＝(0，－a，c)，于是

n·=ac＞0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.

sinq=cosb=,

cosj=

所以sinq=cosj=sin(),又0＜q，j＜，所以q+j=.

18．(重庆20)(本小题满分12分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问6分.)

　　　 如图(20)图， 为平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角的大小为，求：

　　 (Ⅰ)点B到平面的距离;

(Ⅱ)异面直线l与AB所成的角(用反三角函数表示).

解：(1)如答(20)图，过点B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D.

由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.

因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB′C=

.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=,BD=BB′·sinBB′D

=.

(Ⅱ)连接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A,AA′⊥l,知A′ACB′为矩形，故AC∥l.所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角.

在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，则由余弦定理，

BC=.

因BD平面，且DCCA，由三策划线定理知ACBC.

故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.

因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin.

17．(浙江20)(本题14分)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。

(Ⅰ)求证：AE//平面DCF；

(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？

方法一：

(Ⅰ)证明：过点作交于，连结，

可得四边形为矩形，

又为矩形，

所以，从而四边形为平行四边形，

故．

因为平面，平面，

所以平面．

(Ⅱ)解：过点作交的延长线于，连结．

由平面平面，，得

平面，

从而．

所以为二面角的平面角．

在中，因为，，所以，．

又因为，所以，

从而．

于是．

因为，

所以当为时，二面角的大小为．

方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．

设，

则，，，，．

(Ⅰ)证明：，，，

所以，，从而，，

所以平面．

因为平面，

所以平面平面．

故平面．

(Ⅱ)解：因为，，

所以，，从而

解得．

所以，．

设与平面垂直，

则，，

解得．

又因为平面，，

所以，

得到．

所以当为时，二面角的大小为．

16．(天津19)(本小题满分12分)

如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．

(Ⅰ)证明平面；

(Ⅱ)求异面直线与所成的角的大小；

(Ⅲ)求二面角的大小．

(Ⅰ)证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．

(Ⅱ)解：由题设，，所以(或其补角)是异面直线与所成的角．

在中，由余弦定理得

．

由(Ⅰ)知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故．

所以异面直线与所成的角的大小为．

(Ⅲ)解：过点作于，过点作于，连结．

因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．

由题设可得，

，，

，，

．

于是在中，．

所以二面角的大小为．

15．(四川19)(本小题满分12分)

　 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，

，，分别为的中点

(Ⅰ)证明：四边形是平行四边形；

(Ⅱ)四点是否共面？为什么？

(Ⅲ)设，证明：平面平面；

[解1]：(Ⅰ)由题意知，

所以

又，故

所以四边形是平行四边形。

(Ⅱ)四点共面。理由如下：

由，是的中点知，，所以

由(Ⅰ)知，所以，故共面。又点在直线上

所以四点共面。

(Ⅲ)连结，由，及知是正方形

故。由题设知两两垂直，故平面，

因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，

又，所以平面

由(Ⅰ)知，所以平面。

由(Ⅱ)知平面，故平面，得平面平面

[解2]：由平面平面，，得平面，

以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系

(Ⅰ)设，则由题设得

所以

于是

又点不在直线上

所以四边形是平行四边形。

(Ⅱ)四点共面。理由如下：

由题设知，所以

又，故四点共面。

(Ⅲ)由得，所以

又，因此

即

又，所以平面

故由平面，得平面平面

14．(上海16)(本题满分12分)

如图，在棱长为2的正方体中，E是BC₁的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)．

[解]过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF.

∵ EF⊥平面ABCD，

∴ ∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角. ……………4分

由题意，得EF=

∵ …………………………..8分

∵ EF⊥DF， ∴ ……………..10分

故直线DE与平面ABCD所成角的大小是….12分

13．(山东19)(本小题满分12分)

如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．

(Ⅰ)设是上的一点，证明：平面平面；

(Ⅱ)求四棱锥的体积．

(Ⅰ)证明：在中，

由于，，，

所以．

故．

又平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

又平面，

故平面平面．

(Ⅱ)解：过作交于，

由于平面平面，

所以平面．

因此为四棱锥的高，

又是边长为4的等边三角形．

因此．

在底面四边形中，，，

所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，

此即为梯形的高，

所以四边形的面积为．

故．

12．(全国Ⅱ20)(本小题满分12分)

如图，正四棱柱中，，点在上且．

(Ⅰ)证明：平面；

(Ⅱ)求二面角的大小．

解法一：

依题设，，．

(Ⅰ)连结交于点，则．

由三垂线定理知，．····················································································· 3分

在平面内，连结交于点，

由于，

故，，

与互余．

于是．

与平面内两条相交直线都垂直，

所以平面．································································································ 6分

(Ⅱ)作，垂足为，连结．由三垂线定理知，

故是二面角的平面角．································································· 8分

，

，．

，．

又，．

．

所以二面角的大小为．··························································· 12分

解法二：

以为坐标原点，射线为轴的正半轴，

建立如图所示直角坐标系．

依题设，．

，．··································· 3分

(Ⅰ)因为，，

故，．

又，

所以平面．································································································ 6分

(Ⅱ)设向量是平面的法向量，则

，．

故，．

令，则，，．······························································· 9分

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小为．·························································· 12分