12.已知P是椭圆上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，∠PF₁F₂=90°,∠PF₂F₁=30°,则椭圆的离心率是__________.

解析:因为e===,

于是在△PF₁F₂中，由正弦定理知e==.

答案:

11.若椭圆的两个焦点为F₁(－4，0)、F₂(4，0)，椭圆的弦AB过点F₁，且△ABF₂的周长为20，那么该椭圆的方程为__________.

解析:△ABF₂的周长:|AF₂|+|AF₁|+|BF₂|+|BF₁|=2a+2a=4a=20,

∴a=5.又∵c=4,∴b=3.

∴椭圆的方程为+=1.

答案: +=1

10.已知F₁、F₂为椭圆+=1(a＞b＞0)的焦点,M为椭圆上一点,MF₁垂直于x轴,且∠F₁MF₂=60°,则椭圆的离心率为

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

分析:本题考查如何求椭圆的离心率.

解:∵MF₁⊥x轴,∴M点的横坐标为x_M=－c.把x_M代入椭圆方程+=1中,得y_M=,如下图所示.

在Rt△MF₁F₂中,tan∠F₁MF₂===,

即2ac=b².∴a²－2ac－c²=0.

每一项都除以a²,得－2e－e²=0,

解得e₁=或e₂=－ (舍).

答案:C

第Ⅱ卷(非选择题　 共70分)

9.若椭圆+=1(m>n>0)和双曲线－=1(a>b>0)有相同的焦点F₁、F₂，P是两条曲线的一个交点，则|PF₁|·|PF₂|的值是

A.m－a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(m－a)

C.m²－a² D.－

解析:|PF₁|+|PF₂|=2,|PF₁|－|PF₂|=2,

∴|PF₁|=+ ,|PF₂|=－.

∴|PF₁|·|PF₂|=m－a.

答案:A

8.方程=|x+y－2|表示的曲线是

A.椭圆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.双曲线

C.抛物线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.不能确定

解析:数形结合法.动点P(x,y)到定点(－1,－1)和定直线x+y－2=0距离之比为.

答案:B

7.已知双曲线－=1和椭圆+=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边的三角形是

A.锐角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.直角三角形

C.钝角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.等腰三角形

解析:双曲线－=1的离心率e₁==，

椭圆的离心率e₂=.

∵e₁与e₂互为倒数，∴e₁e₂=1,

即·=1,整理得a²+b²=m².

∴以a、b、m为边的三角形是直角三角形.

答案:B

6.以椭圆+=1的焦点为焦点，离心率e=2的双曲线方程是

A.－=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.－=1

C.－=1　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 D.－=1

解析:a²=25,b²=9,则c²=16,c=4,椭圆焦点坐标为(4，0)、(－4，0).

双曲线的焦点仍为(4，0)、(－4，0)，由于e=2,c=4,

∴a=2,b²=c²－a²=12.

∴双曲线方程为－=1.

答案:D

5.双曲线－=1的两焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，且直线PF₁、PF₂倾斜角之差为,则△PF₁F₂的面积为

A.16　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.32

C.32　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.42

解析:由题意可知|PF₁|－|PF₂|=6，∠F₁PF₂=,|F₁F₂|=10.

由余弦定理，得|F₁F₂|²=(|PF₁|－|PF₂|)²+|PF₁|·|PF₂|,

∴|PF₁|·|PF₂|=64.

∴S=×64sin=16,选A.

答案:A

4.若双曲线－=1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是

A.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.3

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析:由2b=a+c得4b²=a²+2ac+c²,

即3c²－2ac－5a²=0,∴3e²－2e－5=0.∴e=.

答案:D

3.已知点M在椭圆上，椭圆方程为+=1,M点到左准线的距离为2.5，则它到右焦点的距离为

A.7.5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.12.5

C.2.5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.8.5

解析:∵a=5,b=4,∴c=3.

两准线间的距离为2·=2×=.

M到左准线的距离为2.5，则M到右准线的距离为－2.5=.

设椭圆右焦点为F，

则==,∴|MF|=8.5.

答案:D