15.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁C₁、B₁C₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，求证：

(1)D、B、F、E四点共面；

(2)若直线A₁C交平面DBFE于点R，则P、Q、R三点共线.

(1)证法一:∵EF是△D₁B₁C₁的中位线,

∴EF∥B₁D₁.

在正方体AC₁中，B₁D₁∥BD,

∴EF∥BD.

由公理3知EF、BD确定一个平面,

即D、B、F、E四点共面.

证法二:延长BF,CC₁交于点G,延长DE,CC₁交于点G′.

G与G′重合DE,BF是相交直线D,B,F,E四点共面.

(2)证明:正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设A₁ACC₁确定的平面为α,设平面DBFE为β,

∵为α、β的公共点.

同理,P亦为α、β的公共点,

∴R∈PQ,即P、Q、R三点共线.

点评:证明多点共线，可先由两点确定一直线，证其余点在直线上.要证点在一条直线上，只需证明这点是两平面的公共点，而直线是两个平面的交线，这是证点在直线上的常用方法.

14.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如果E、F分别为AB、CC₁的中点，那么异面直线A₁C与EF所成的角等于_______________.

答案:arccos

解析:延长AA₁到P，使A₁P=AA₁，

连结PF，则PF∥A₁C，设A₁A=a.

则PE²=(a)²+(a)²=a²，

EF²=(a)²+a²+(a)²=a²，PF²=A₁C²=3a².

∴cos∠PEF=.

∴直线A₁C与EF所成的角等于arccos.

13.(2006全国重点中学一模,11)给出三个命题:

①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行;

②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行;

③若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行.

其中不正确的序号是__________.

答案:①②

解析:在如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,A₁D₁⊥D₁D,C₁D₁⊥D₁D,

即A₁D₁与D₁D,C₁D₁与D₁D所成的角都是90°,但A₁D₁与C₁D₁不平行,可知①②不正确,由公理4可知③正确.

12.空间四条直线,两两相交可确定平面的个数最多有____________个.

答案:6

解析:显然,任两条相交直线若都能确定一个平面(不重复),此时平面个数最多.如图,平面PAB,平面PAC,平面PAD,平面PBC,平面PCD,平面PBD,共6个.

11.以下四个命题:

①A∈l,A∈α,B∈l,B∈αlα;

②A∈α,A∈β,B∈α,B∈βα∩β=AB;

③lα,A∈lAa;

④A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线α与β重合.

其中推理正确的序号是__________.

答案:①②④

解析:由公理1知①正确;由公理2知②正确;由公理3知④正确;而③中直线l可能与平面α相交于A.故③不正确.

10.右图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:

①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.

以上四个命题中,正确命题的序号是(　　 )

A.①②③　　　　　　　 B.②④　　　　　　　　 C.③④　　　　　　　 D.②③④

答案:C

解析:将上面的展开图还原成如图所示正方体.容易知道BM与ED异面,CN与BE平行,故①②不正确.

因为BE∥CN,所以CN与BM所成的角是∠EBM=60°,延长CD至D′,使DD′=DC,

则D′N∥DM,∠BND′就是DM与BN所成的角.设正方体的棱长为1,

因为BN=a,ND′=a,BD′=a,所以BN²+D′N²=D′B²,即BN⊥ND′,BN⊥DM.

第Ⅱ卷(非选择题)

9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则P,Q两点之间的最小距离为(　　 )

A.1　　　　　　　 B.　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

答案:C

解析:PQ的最小值应是AB,CD的公垂线段长.易知P,Q分别是AB,CD中点时,PQ⊥AB,PQ⊥CD.在Rt△BQP中,

∵BQ=,BP=1,∴PQ==.

8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于(　 　)

A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

答案:B

解析一:如图(1),取面CC₁D₁D的中心为H，连结FH、D₁H.易知OE∥FH，所以∠D₁FH为所求异面直线所成的角.在△FHD₁中，

FD₁=，FH=，D₁H=由余弦定理，得∠D₁FH的余弦值为.

解析二:如图(2),取BC中点为G.连结GC₁、FD₁,则GC₁∥FD₁.再取GC中点为H,连结HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角.

在△OEH中，OE=,HE=，OH=.

由余弦定理，可得cos∠OEH=.

7.在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系是(　　 )

A.MN>a　　　　　　　　 B.MN=a　　　　　　 C.MN<a　　　　　　　 D.不能确定

答案:C

解析:如图,取AC中点P,则MPBC,NPAD,且MP+NP=(BC+AD)=a>MN,故C正确.

6.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为…(　　 )

A.180°　　　　　　　 B.90°　　　　　　 C.60°　　　　　　　 D.45°

答案:C

解析:把平面图形还原为立体图形，找准A、B、C三点相对位置,可知∠ABC在等边△ABC内.