1.2　 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式

例3　设二次函数，方程的两个根满足.　 当时，证明.

分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.

证明：由题意可知.

,

∴ ,

∴　 当时，.

又,

∴　 ,

综上可知，所给问题获证.

1.1　 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.

例1 　已知，满足1且，求的取值范围.

分析：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1和当成两个独立条件，先用和来表示.

解：由，可解得：

　　　 (*)

将以上二式代入，并整理得

　　　,

∴ .

又∵，,

∴ .

例2　 设，若，，, 试证明：对于任意，有.

分析：同上题，可以用来表示.

解：∵ ,

∴ ,

∴ .

∴ 当时，

当时，

综上，问题获证.

1.　　 代数推理

由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形(一般式、顶点式、零点式等)，所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.

例1．(1)对于，下列列结论成立的是( D )

A．是零　　　　 B．是纯虚数　　 C．是正实数　　 D．是负实数

(2)的值为(　 B　 )

A．-2　　　　　　 B．0　　　　　　 　C．2　　　　　　　 D．4

(3)设非零复数、满足则代数式的值是(　 B )

A．　　　　 B．-1　　　　　　 C．1　　　　　　　 D．0

(4)已知函数，则的值是_____________()

例2．设为虚数单位，复数和满足。

(1)若和又满足，求和的值。

(2)求证：如果，那么的值是一个常数，并求这个常数。

解：(1)∵，∴，代入得：

即，

设，则上式可变为：。

∴或。

∴或。

(2)法一：由有

设，则有，

∴，

∴的值是一个常数，且等于。

证法二：由有

，

所以，，以下同上。

例3．设是虚数，是实数，但，

(1)求的值及的实部的取值范围；

(2)设，求证：为纯虚数；

(3)求的最小值。

(1)解：=1，的实部的取值范围是

(2)证明：略

(3)解：的最小值为1。

熟练掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则，灵活利用、的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于、的计算问题，同理要注意复数整体思想的把握以及复数运算几何意义的利用。

课时8　 复数的代数形式及其运算

例1．下列四个命题中是真命题的是(　 D )

A．的共轭复数是

B．若两个复数的差的纯虚数，则它们一定为共轭复数

C．若两个复数的和为实数，则它们为共轭复数

D．若两个虚数的和与积都为实数，则它们为共轭复数

例2．实数分别取什么数值时，复数是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)对应点在轴上方；(5)对应点在直线上。

解：(1)由，得知：或时，为实数；

(2)由，得知：且时，为虚数；

(3)由，得时，为纯虚数；

(4)由，得知：或，的对应点在直线上。

例3．设关于的的方程是；

(1)若方程有实数根，求锐角和实数根；

(2)证明：对任意，方程无纯虚根。

解：(1)设实数根是，则，即

，∵、，

∴且，又，∴；

(2)若有纯虚数根，则，

∴，且这不可能。

例4．已知，其中，且为纯虚数。

(1)求的对应点的轨迹；

(2)求的最大值、最小值。

解：设，则

∵为纯虚数，∴

的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去(-3,0)，(3,0)两点。

(2)由的轨迹可知∴，圆心对应，半径为3。

∴的最大值为9，最小值为3。

了解引进复数的必要性；理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示。

10．在资料室中存放着书籍和杂志，任一读者借书的概率为0.2，而借杂志的概率为0.8，设每人只借一本，现有五位读者依次借阅，计算：

(1)5人中有2人借杂志的概率；

(2)5人中至多有2人借杂志的概率。

解：(1)0.0512

(2)0.05216

=2=

0.(4)0.918

(5)002