7．

证明：取的中点，连结；

∵分别为的中点

∵

∴面，面

∴面面　 ∴面

6．

证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB。

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，

∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°

∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形

∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，

∴MN∥平面BCE。

证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，

∴

连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴ NH//AF//BE

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE

∴MN∥平面BCE。

5．

解析：解析：A选项中，若a∥M，b∥M，则有a∥b或a与b相交或a与b异面。B选项中，b可能在M内，b可能与M平行，b可能与M相交.C选项中须增加a与b相交，则l⊥M。D选项证明如下：∵a∥N，过a作平面α与N交于c，则c∥a，∴c⊥M.故M⊥N。答案D。

点评：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质。

4．

解析：(1)过空间一点O分别作∥a,∥b。

将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成60角的直线。故过点 O与a,b都成60角的直线有4条，从而选D。

(2)过点O分别作∥a、∥b，则过点O有三条直线与a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与所成角都为60，其中一条正是角的平分线。从而可得选项为C。

3．

证法一：假设b 、c 共面于g ．由A a ，a ∥c 知，A c ，而a b ＝A，a b ＝a ，

∴　 A g ，A a。

又c a ，∴　 g 、a 都经过直线c 及其外的一点A，

∴　 g 与a 重合，于是a g ，又b b。

又g 、b 都经过两相交直线a 、b ，从而g 、b 重合。

∴　 a 、b 、g 为同一平面，这与a b ＝a 矛盾。

∴　 b 、c 为异面直线．

证法二：假设b 、c 共面，则b ，c 相交或平行。

(1)若b ∥c ，又a ∥c ，则由公理4知a ∥b ，这与a b ＝A 矛盾。

(2)若b c ＝P ，已知b b ，c a ，则P 是a 、b 的公共点，由公理2，P a ，又b c ＝P ，即P c ，故a c ＝P ，这与a ∥c 矛盾。

综合(1)、(2)可知，b 、c 为异面直线。

证法三：∵　 a b ＝a ，a b ＝A ，∴　 A a 。

∵　 a ∥c ，∴　 A c ，

在直线b 上任取一点P(P 异于A)，则P a(否则b a ，又a a ，则a 、b 都经过两相交直线a 、b ，则a 、b 重合，与a b ＝a 矛盾)。

又c a ，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，b 、c 为异面直线。

2．

证明：1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，

但AÏd，如图1所示：

∴直线d和A确定一个平面α。

又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，

则A，E，F，G∈α。

∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα。

同理可证bα，cα。

∴a，b，c，d在同一平面α内。

2o当四条直线中任何三条都不共点时，

如图2所示：

∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α。

设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α。

又 H，K∈c，∴c,则cα。

同理可证dα。

∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

1． (1)

证明：∵　四边形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰，

∴直线MQ 、NP 必相交于某一点O 。

∵　O 直线MQ ；直线MQ 平面ABD ，

∴　O 平面ABD。

同理，O 平面BCD ，又两平面ABD 、BCD 的交线为BD ，

故由公理二知，O 直线BD ，从而三直线BD 、MQ 、NP 共点。

(2)

证明：∵AB∥CD，

∴AB，CD确定一个平面β．

又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，

即E为平面α与β的一个公共点。

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴E，F，G，H四点必定共线。

10．P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心。

(1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC；

(2)S△A′B′C′∶S△ABC的值。

贵州省兴义一中

09-10学年高三数学《空间中的平行关系》专题训练答案

9．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为a。证明：平面ACD1 ∥平面A1C1B 。

8．如图所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a.

(Ⅰ)求截面EAC的面积；

(Ⅱ)求异面直线A1B1与AC之间的距离；