7．(1)如图，正方形所在平面，过作与垂直的平面分别交、、于、K、，求证：、分别是点在直线和上的射影．

(2)如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。

(Ⅰ)试确定，使直线与平面所成角的正切值为；

(Ⅱ)在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。

6．如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G。

(Ⅰ)求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；

(Ⅱ)求点D1到平面B1EF的距离d；

(Ⅲ)求三棱锥B1-EFD1的体积V。

5．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ；(3)平面DEA ⊥平面ECA。

4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是

A1B1 中点．(1)求证C1D ⊥平面A1B ；(2)当点F 在BB1 上什么位置时，会使

得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。

3．(1)如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC1A1。

(2)如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，

面CDE

是等边三角形，棱。

(I)证明平面；

(II)设证明平面。

2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。

1．如图1所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。

10．

解析：(1)取AB、BC的中点M、N，

则

∴A′C′∥MN?A′C′∥平面ABC。

同理A′B′∥面ABC，

∴△A′B′C′∥面ABC.

(2)A′C′=MN=·AC=AC

，

同理

∴

9．证明：如图，∵　 A1BCD1 是矩形，A1B ∥D1C 。

又D1C 平面D1CA ，A1B 平面D1CA ，

∴　 A1B ∥平面D1CA。

同理A1C1 ∥平面D1CA ，又A1C1 A1B ＝A1 ，∴　 平面D1CA ∥平面BA1C1 ．

点评：证明面面平行，关键在于证明A1C1 与A1B 两相交直线分别与平面ACD1 平行。

8．

解：(Ⅰ)如图所示，连结DB交AC于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形，

∴DO⊥AC　

又∵ED⊥底面AC，　

∴EO⊥AC

∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，

∴∠EOD＝45°

DO＝a，AC＝a，EO＝a·sec45°＝a，

故S△EAC=EO·AC＝a2．

(Ⅱ)由题设ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC．

又A1A⊥A1B1，

∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线.

∵D1B∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO，

∴D1B∥EO，

又O是DB的中点

∴E是D1D的中点，D1B＝2EO＝2a.

∴D1D＝a

异面直线A1B1与AC间的距离为a.