17.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=cos⁴x－2sinxcosx－sin⁴x.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)若x∈［0,］,求f(x)的最大值、最小值.

解:(1)因为f(x)=cos⁴x－2sinxcosx－sin⁴x=(cos²x+sin²x)·(cos²x－sin²x)－sin2x=cos2x－sin2x=cos(2x+),

所以f(x)的最小正周期T==π.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)因为0≤x≤,所以≤2x+≤.

当2x+=时,cos(2x+)取得最大值;

当2x+=π时,cos(2x+)取得最小值－1.

所以f(x)在［0,］上的最大值为1,最小值为－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

16.关于正四棱锥P-ABCD,给出下列命题:

①异面直线PA与BD所成的角为直角;

②侧面为锐角三角形;

③侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角;

④相邻两侧面所成的二面角为钝角.

其中正确命题的序号是___________.

解析:

①对,如图,顶点P在底面上的射影为底面中心O.

∵AC⊥BD,

∴PA⊥BD,即PA与BD所成的角为直角.

②对,设正四棱锥底面边长为a,侧棱长为b,

则AC=a,OA=OB=a.

∵b>a,在△PAB中,PA²+PB²－AB²=2b²－a²>2(a)²－a²=0,

∴∠APB为锐角,故△APB为锐角三角形,即侧面为锐角三角形.

③对,取BC中点E,连PE、OE,易知∠PEO为侧面与底面所成的角,∠PBO为侧棱与底面所成的角,sin∠PEO=,sin∠PBO=.

∵PB>PE,

∴sin∠PEO>sin∠PBO.

∴∠PEO>∠PBO.

④对,作AF⊥PB于F,连FC,易证FC⊥PB,

∴∠AFC为相邻两侧面所成的二面角.

∵AF<AB,CF<BC,在△AFC中,AF²+CF²－AC²<AB²+BC²－AC²=0,从而∠AFC>90°.

故相邻两侧面所成的二面角为钝角.

答案: ①②③④

15.四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有_______种.

解析:

从10个点中任取4个的组合数为=210种.

其中4点共面的分三类.

(1)4点在同一侧面或底面的共4组,即×4=60种.

(2)每条棱的中点与它的对棱上三点共面,这样的共6种.

(3)在6个中点中,4点共面数有3种.

故4点不共面的取法有210－(60+6+3)=141种.

答案: 141

14.如下图的电路中有a、b、c三个开关,每个开关断开或闭合的概率都是,且是相互独立的,则在某时刻灯泡甲、乙亮的概率分别是_______.

解析: 甲亮须a、c闭合,b开启,

∴P_甲=××=.

乙亮a必须闭合,b、c只需一个闭合即可,

∴P_乙=×(×+×+×)=.

答案: ,

13.在(+)²⁰⁰⁴的展开式中,系数为有理数的项共有_______项.

解析: 易知T_r+1=2¹⁰⁰²－·x^－r.其系数为有理数的充要条件是r为2与3的倍数,即r被6整除,所以r=6k(k∈Z).

∵0≤6k≤2004,

∴0≤k≤334(k∈Z).

∴k=0,1,2,…,334.

系数为有理数的项共有335项.

或利用等差数列通项公式,由2004=6(n－1),解得n=335.

答案: 335

12.已知f(x)=则f′(1)、f′(－1)等于

A.－2　　　　　　　　　　　　　 B.－3　　　　　　　　　　　　　 C.－1　　　　　　　　　　　　　 D.1

解析: f′(x)=

∴f′(1)·f′(－1)=－1.

答案: C

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷

数　学　理工农医类(四)

第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)

11.若(a·－nb)=1,则ab的值是

A.8　　　　　　　　　　　　 B.4　　　　　　　　　　　　 C.8　　　　　　　　　　　　　　　 D.16

解析: (a·－nb)=存在,

则2a²－b²=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∴原式==1.

∴=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②可知,a=2,b=4.

∴ab=8.

答案: A

10.一名射击运动员命中的概率为0.7,那么他射击21次后最可能的命中次数是

A.13或14　　　　　　　　　　 B.14或15　　　　　　　　　　 C.16或17　　　　　　　　　　 D.17或18

解析: 满足几何分布,∴Eξ=np=14.7.

∴B满足.

答案: B

9.满足不等式0≤y≤2－|x|的整数解(x,y)的个数是

A.6　　　　　　　　　　　　　　　 B.7　　　　　　　　　　　　　　　 C.8　　　　　　　　　　　　　　　 D.9

解析: 由已知|x|≤2,则－2≤x≤2.

当x=－2,2时，y=0.有2个；

当x=－1,1时，y=0,1.有4个；

当x=0时，y=0,1,2.有3个.

综上，共有9个，故选D.

答案: D

8.如果≠kx对一切x≥15均成立,则有

A.k≤0　　　　　　　　　　　　 B.k≤0或k>　　　　 C.k≤0或k>　　　　 D.0≤k<

解析: 令y=,y=kx,显然k≤0时成立,

由k²x²－x+5=0(k>0),

由Δ=0,得k=;

由得x=10,而x≥15,

∴当x=15时,k=.

∴k≤0或k>.

答案: C