13．(重庆市万州区)

　　 已知函数.

　 (Ⅰ) 求；

　 (Ⅱ) 若，函数的图象能否总在直线的下方？说明理由；

　 (Ⅲ)若函数在上是增函数，是方程的一个根，

求证：.

解答：(Ⅰ) .　 ………………………2分

(Ⅱ) 时，，令得：

由于，，

所以函数的图象不能总在直线的下方. ………………………………6分

　 (Ⅲ)因函数在上是增函数，在区间上恒成

　　　　 立，即在区间上恒成立，，…………………8分

　　 又由得，

　　 而，

　　 即.………………………12分

12．(浙江省瓯海中学)已知函数，

(Ⅰ)若的图象与的图象在x=2处的切线互相平行，求a的值；

(Ⅱ)若函数的两个极值点恰是方程的两个根，求a、b的值；并求此时函数的单调区间．

解：………………1分

(Ⅰ)…………4分

(Ⅱ)令

分别代入……7分

………………10分

此时　　

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

22．(14分)y = f(x)的定义域为R，对任意实数m、n有f(m+n) = f(m)f(n)，且当x<0时，f(x)>1，数列{a_n}满足a₁=f(0)且*)。 (1)求证：y = f(x)在R上单调递减； (2)求数列{a_n}的通项公式； (3)是否存在正数k，使··…·，对一切n∈N*均成立，若存在，试求出k的最大值并证明，若不存在，说明理由。

21．(12分)已知点H(0，―3)，点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，。 (1)当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程； (2)过定点A(a，b)的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上。

20．(12分)如图，在长方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=8，AA₁= 4，M为B₁C₁上一点，且B₁M=2，点N在线段A₁D上，A₁D⊥AN，求： (1)cos ()； (2)直线AD与平面ANM所成的角的大小； (3)平面ANM与平面ABCD所成角(锐角)的大小。

19．设f(x) = alnx + bx² + x在x₁=1与x₂=2时取得极值， (1)试确定a、b的值； (2)求f(x)的单调增区间和减区间； (3)判断f(x)在x₁、x₂处是取极大值还是极小值。

18．(12分)设向量=(1+cosα，sinα)，=(1+cosβ，sinβ)，=(1，0)， α∈(0，)，β∈(，2)，与的夹角为θ₁，与的夹角为θ₂，且θ₁―θ₂=，求的值。

17．(12分)一学生在上学途中要经过6个路口，假设他在各个路口遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是。 (1)求他通过第3个路口时，首次遇到红灯的概率； (2)(理)求他在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。 　　 (文)求这名学生在途中恰好遇到3次红灯的概率。

16．甲、乙二人各有一个装有3张卡片的盒子，从中取卡片来比胜负，甲的盒子中卡片的号码是2张1，1张3；乙的盒子中卡片的号码是1张1，2张2，甲乙两人同时从自己的盒子中取出1张比较，取出的不再放回，直到二人取的卡片号码不相同时，号码大的一方为胜，则甲获胜的概率是________。

15．已知a₁，a₂，a₃，……，a_k是有限项等差数列，且a₄+a₇+a₁₀=17，a₄+a₅+a₆，+……+a₁₄=77。若a_k=13，则k=_________。