1. 给出直线的方向向量或，等于已知直线的斜率或；

4．在抛物线y²=4x上恒有两点关于y=kx+3对称，求k范围.

解:设B、C关于直线y=kx+3对称，则BC方程为x=-ky+m,代入 y²=4x 得　 y²+4ky-4m=0　 设B(x, y), C(x₂, y₂),　 BC中点M(x₀, y₀), ∴ ,　 x₀=2k²+m,∵ M(x₀, y₀)在l上，∴ -2k=k(2k²+m)+3　 ∴ ,　 又BC与抛物线交于两点，∴Δ=16k²+16m>0, 即，　 解得-1<k<0.

3．直线l: 与曲线x²-y²=1(x>0)相交于A，B两点，则直线l的倾角为( ).

　　 A、[0，)　 B、　 　C、　D、

分析:直线与双曲线右支交于两点，不能仅仅用Δ判定，

　 x²-k²(x²-x+2)=1　 (1-k²)x²+k²x-2k²-1=0

　　 ∴ 　　　∴ k>1 或 k<-1. ∴ 倾角，选B.

2．直线y:kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是( ).

　　 A、m≥1且m≠5　 　B、m≥1　 C、m≠5　　　　　 D、m≤5

分析:直线与椭圆恒有公共点Û联立方程Δ恒大于等于0，

　 由Δ≥0恒成立可得 m≥1-5k²恒成立，∴ m≥(1-5k²)_max,　 ∴m≥1且m≠5，选A.

1．过点(2，4)作直线与抛物线y²=8x只有一个公共点，这样的直线有( ).

　　 A、一条　　　 B、两条　　　 C、三条　　　 D、四条

分析:首先注意点(2，4)在抛物线上，其次只有一个公共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，与抛物线交于一点，因而选B.

5．交轨法

例:抛物线y²=2px(p>0)，O为坐标原点，A、B在抛物线上，且OA⊥OB，过O作OP⊥AB交AB于P，求P点轨迹方程.

解:设OA=y=kx, 则，

　　 　　得　 同理 B(2pk², -2pk)

　　 AB:

　 　　　....①

　　 而op: .....②

　　 ∵ P为AB与OP的交点，联立①②　 (1)×(2)消去k,

　　 　y²=-(x-2p)x, ∴ x²+y²-2px=0(x≠0)即为所求.

4．直接法(直接利用曲线定义)

例:如图，直线l₁, l₂相交于M，l₁⊥l₂，点N∈l₁, 以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等，若ΔAMN为锐角Δ，， |AN|=3，|BN|=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.

分析:以l₁为x轴，以MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图.

由题意，曲线段C是以N为焦点，以l₂为准线的抛物线的一部分，

其中A、B分别为C的端点.

　　 由已知条件，可求方程为y²=8x(1≤x≤4, y>0)(过程略)

3．直接法(直接到方程化简)

例:设点O为原点，点M在直线l: x=-p(p>0)上移动，动点N在线段MO的延长线上，且满足|MN|=|MO|·|NO|. 求动点N的轨迹方程.

解:设N坐标为(x, y)，过N作NN'⊥x轴于N',

　　 ∵ M，O，N共线，

　　 ∴ ， 由已知 |MN|=|MO|·|NO|

∴ 　

∴ 所求方程为(p²-1)x²+p²y²-2px-p²=0(x>0)

2．相关点求轨迹法(代入法)

例:设抛物线过定点A(0，2)，且以x轴为准线求抛物线顶点M的轨迹C的方程.

分析:A(0，2)在抛物线上，体现为

①A(0，2)的坐标满足曲线方程

②A(0，2)满足曲线定义

　　 在本题中以方式②为佳，设M(x, y)，焦点F(x₀, y₀),

　　 ∵ |AF|=，∴ ，　 ∴ ......①

　　 而，　 ∴ 　代入① ∴ x²+(2y-2)²=4,　 且 y≠0.

1．待定系数法

例:已知椭圆D:与圆:x²+(y-m)²=9(m∈R)，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切.1)当m=5时，求双曲线G的方程.

2)当m取何值时，双曲线的两条准线间的距离为1.

解:1)椭圆D的两个焦点F₁(-5,0),F₂(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c=5.

　　 设双曲线G的方程为∴ 渐近线为bx±ay=0且a²+b²=25,

　　 m=5时，圆心M(0,5), r=3.∴ , 得 a=3, b=4， ∴G方程为.

2)双曲线两准线间距离为， ∴ ，

　　 ∵ G的渐近线与M相切， ∴ ，∴ .