19.(全国Ⅰ卷文21)已知函数

(I)当时，求的极值;

(II)若在上是增函数，求的取值范围

解：(Ⅰ)

当时，，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值.　 所以是的极小值.

18.(全国Ⅰ卷理20)已知函数.

(Ⅰ)若，求的取值范围；

(Ⅱ)证明： .

[命题意图]本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.

[解析]　 (Ⅰ)，　 ,

题设等价于.

令，则

当，；当时，，是的最大值点，

　　　　 　　　综上，的取值范围是.

(Ⅱ)有(Ⅰ)知，即.

当时，；

当时，

所以

17.(辽宁卷文21)已知函数.

(Ⅰ)讨论函数的单调性；

(Ⅱ)设，证明：对任意，。

解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，.

当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；

当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；

当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；

x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在(0, )单调增加，在(，+)单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在(0，+)单调减少.

所以等价于≥4x1－4x2 , 　即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.

令g(x)=f(x)+4x,则+4＝.　　　　　　　　

于是≤＝≤0.

从而g(x)在(0，+)单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，

即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+) ，.　

16.(辽宁卷理21)已知函数

(I)讨论函数的单调性；

(II)设.如果对任意，，求的取值范围。

15.(江西卷文17)设函数.

(1)若的两个极值点为，且，求实数的值；

(2)是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.

考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识

[解析]

(1)由已知有，从而，所以；

(2)由，

所以不存在实数，使得是上的单调函数.

14.(江西卷理19)设函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若在上的最大值为，求的值．

考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。　　

[解析]对函数求导得：，定义域为(0，2)

单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。

当a=1时，令

当为增区间；当为减函数。

区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值。

当有最大值，则必不为减函数，且>0，为单调递增区间。

最大值在右端点取到。。

13.(江苏卷20)设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.

(1)设函数，其中为实数

①求证：函数具有性质

②求函数的单调区间

(2)已知函数具有性质，给定

，，且，若||<

||,求的取值范围

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。

(1)(i)

∵时，恒成立，

∴函数具有性质；

(ii)(方法一)设，与的符号相同。

当时，，，故此时在区间上递增；

当时，对于，有，所以此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，而，

对于，总有，，故此时在区间上递增；

(方法二)当时，对于，

　 所以，故此时在区间上递增；

当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而

　当时，，，故此时在区间　　 上递减；同理得：在区间上递增。

综上所述，当时，在区间上递增；

　　　　　 当时，在上递减；在上递增。

(2)(方法一)由题意，得：

又对任意的都有>0，

所以对任意的都有，在上递增。

又。

当时，，且，

综合以上讨论，得：所求的取值范围是(0，1)。

(方法二)由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。

①当时，有，

，得，同理可得，所以由的单调性知、，

从而有||<||，符合题设。

②当时，，

，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。

③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的的取值范围是(0，1)。

11.(湖南卷理21)数列中，a1=a，a n+1是函数的极小值点

(Ⅰ)当a=0时，求通项；

(Ⅱ)是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

[解析]易知

令

　(1)

故在

(2)

(3)

12(湖南卷文21)已知函数其中a<0,且a≠-1.

(Ⅰ)讨论函数的单调性；

(Ⅱ)设函数(e是自然数的底数)。是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

10.(湖北卷文21)设函数，其中a＞0，曲线在点P(0，)处的切线方程为y=1

(Ⅰ)确定b、c的值

(Ⅱ)设曲线在点()及()处的切线都过点(0,2)证明：当时，

(Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。

9.(湖北卷理21)已知函数f(x)=ax++c(a＞0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.

(Ⅰ)用a表示出b,c;

(Ⅱ)若f(x)＞㏑x在[1,∞]上恒成立，求a的取值范围；

(Ⅲ)证明：1+++…+＞㏑(n+1)+)(n≥1).