13. (天津卷文22)在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.

(Ⅰ)证明成等比数列；

(Ⅱ)求数列的通项公式；

(Ⅲ)记，证明.

[命题意图]本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。

[解析](I)证明：由题设可知，，，，，

。

从而，所以，，成等比数列。

(II)解：由题设可得

所以

　　　　　　 .

由，得 ，从而.

所以数列的通项公式为或写为，。

(III)证明：由(II)可知，，

以下分两种情况进行讨论：

当n为偶数时，设n=2m

若，则，

若，则

　　　 .

所以，从而

当n为奇数时，设。

所以，从而

综合(1)和(2)可知，对任意有

12. (天津卷理22)在数列中，，且对任意，成等差数列，其公差为。

(Ⅰ)若=2k，证明成等比数列()；

(Ⅱ)若对任意，成等比数列，其公比为.

　(i)设1.证明是等差数列；

　 (ii)若，证明

[命题意图]本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。

[解析](Ⅰ)证明：由题设，可得。

所以

=

=2k(k+1)

由=0，得

于是。

所以成等比数列。

(Ⅱ)证法一：(i)证明：由成等差数列，及成等比数列，得

当≠1时，可知≠1，k

从而

所以是等差数列，公差为1。

(Ⅱ)证明：，，可得，从而=1.由(Ⅰ)有

所以

因此，

以下分两种情况进行讨论：

当n为偶数时，设n=2m()

若m=1,则.

若m≥2，则

+

所以

(2)当n为奇数时，设n=2m+1()

所以从而···

综合(1)(2)可知，对任意,,有

证法二：(i)证明：由题设，可得

所以

由可知。可得，

所以是等差数列，公差为1。

(ii)证明：因为所以。

所以，从而，。于是，由(i)可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。

从而。

所以，由，可得

。

于是，由(i)可知

以下同证法一。

11. (四川卷理21)已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有a2m－1+a2n－1＝2am+n－1+2(m－n)2

(Ⅰ)求a3，a5；

(Ⅱ)设bn＝a2n+1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；

(Ⅲ)设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.

10. (上海卷文21)已知数列的前项和为，且，

(1)证明：是等比数列；

(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.

解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列； (2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)； 由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15．

9. (上海卷理20)已知数列的前项和为，且，

(1)证明：是等比数列；

(2)求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。

解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列； (2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)；解不等式Sn<Sn+1，得，，当n≥15时，数列{Sn}单调递增； 同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n=15时，Sn取得最小值．

8.(全国Ⅰ新卷理17)设数列满足

求数列的通项公式；

令，求数列的前n项和

解：

(Ⅰ)由已知，当n≥1时，

。

而

所以数列{}的通项公式为。

(Ⅱ)由知

　　　 ①

从而

　　　 　②

①-②得

　　　 　。

即　　

7.(江西卷文22)正实数数列中,,且成等差数列.

(1) 证明数列中有无穷多项为无理数；

(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.

证明：(1)由已知有：，从而，

方法一：取，则()

用反证法证明这些都是无理数.

假设为有理数，则必为正整数，且，

故.,与矛盾，

所以()都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数;

方法二：因为，当的末位数字是时，的末位数字是和，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多．

(2) 要使为整数，由可知：

同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或

当时，有()

又必为偶数，所以()满足

即()时，为整数；

同理有()

也满足，即()时，为整数；

显然和()是数列中的不同项；

所以当()和()时，为整数；

由()有，

由()有.

设中满足的所有整数项的和为，则

6.(江西卷理22)证明以下命题：

对任一正整a,都存在整数b,c(b<c)，使得成等差数列。

存在无穷多个互不相似的三角形△，其边长为正整数且成等差数列。

[解析]作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

　　 (1)考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当成等差数列，则，

分解得：

选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解

对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任取正整数m，n，若△m，△相似：则三边对应成比例，　

由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。

5.(江苏卷19)设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。

(1)求数列的通项公式(用表示)；

(2)设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。

(1)由题意知：，

，

化简，得：

，

当时，，适合情形。

故所求

(2)(方法一)

， 恒成立。

　 又，，

故，即的最大值为。

(方法二)由及，得，。

于是，对满足题设的，，有

。

所以的最大值。

另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。

于是，只要，即当时，。

所以满足条件的，从而。

因此的最大值为。

4.(湖南卷文20)给出下面的数表序列：

其中表n(n=1,2,3 )有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

(I)写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)；

　(II)每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 求和：