2.(北京卷文6)给定函数①，②，③，④，期中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是

(A)①②　　　　 (B)②③　　　　 (C)③④　　　　 (D)①④

1.(安徽卷理4)若是上周期为5的奇函数，且满足，则

A、－1　 B、1　　 C、－2　 D、2

[答案]A

19．(天津卷文21)已知椭圆(a>b>0)的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为(-a，0).

　 (i)若，求直线l的倾斜角；

　 (ii)若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.

[命题意图]本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.

[解析](Ⅰ)解：由e=，得.再由，解得a=2b.

由题意可知，即ab=2.

解方程组得a=2，b=1，所以椭圆的方程为.

(Ⅱ)(i)解：由(Ⅰ)可知点A的坐标是(-2,0).设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k(x+2).

于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得

.

由，得.从而.

所以.

由，得.

整理得，即，解得k=.

所以直线l的倾斜角为或.

(ii)解：设线段AB的中点为M，由(i)得到M的坐标为.

以下分两种情况：

(1)当k=0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是

由，得。

(2)当时，线段AB的垂直平分线方程为。

令，解得。

由，，

，

整理得。故。所以。

综上，或

当等价于

　　 解不等式组得-5<a<5.因此.

20(浙江卷理21)已知m＞1，直线，

椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.

(Ⅰ)当直线过右焦点时，求直线的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点，，

　　　　 的重心分别为.若原点在以线段

为直径的圆内，求实数的取值范围.

解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

　　 (Ⅰ)解：因为直线经过，

所以,得，

又因为，所以，

故直线的方程为。

(Ⅱ)解：设。

　　　 由，消去得

　　 则由，知，

且有。

由于，故为的中点，

由，可知

设是的中点，则，

由题意可知

即　 即

而

所以即

又因为且所以。

所以的取值范围是。

18.(天津卷理20)已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。

求椭圆的方程；

设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为()，点在线段的垂直平分线上，且，求的值

[命题意图]本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。

[解析](1)解：由，得，再由，得

由题意可知，

解方程组 得 a=2,b=1　 所以椭圆的方程为

(2)解：由(1)可知A(-2,0)。设B点的坐标为(x1,,y1),直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),

于是A,B两点的坐标满足方程组

由方程组消去Y并整理，得

由得

设线段AB是中点为M，则M的坐标为

以下分两种情况：

(1)当k=0时，点B的坐标为(2,0)。线段AB的垂直平分线为y轴，于是

(2)当K时，线段AB的垂直平分线方程为

令x=0，解得

由

整理得

综上。

17.(上海卷文23)已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.

(1)若点满足，求点的坐标；

(2)设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；

(3)设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是(-8，-1)，若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.

解析：(1) ； (2) 由方程组，消y得方程， 因为直线交椭圆于、两点，所以D>0，即， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， 则，由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p， 又因为，所以， 故E为CD的中点； (3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程． ，直线OF的斜率，直线l的斜率， 解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)．

16.(上海卷理23)已知椭圆的方程为，点P的坐标为(-a，b).

(1)若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；

(2)设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；

(3)对于椭圆上的点Q(a cosθ，b sinθ)(0＜θ＜π)，如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围.

解析：(1) ； (2) 由方程组，消y得方程， 因为直线交椭圆于、两点，所以D>0，即， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， 则，由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p， 又因为，所以，故E为CD的中点； (3) 求作点P1、P2的步骤：1°求出PQ的中点， 2°求出直线OE的斜率， 3°由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率， 4°从而得直线CD的方程：， 5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标． 欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内， 所以，化简得，， 又0<q <p，即，所以， 故q 的取值范围是．

15.(陕西卷文20)如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2, | A1B1|　=,

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

　(Ⅱ)设n 为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由。

14.(陕西卷理20)如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2, | A1B1|　=,

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

13.(山东卷文22)如图，已知椭圆过 点.，离心率为，左、右焦点分别为、.点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点.

　　 (I)求椭圆的标准方程；

　　 (II)设直线、的斜线分别为、.

　　　　 (i)证明：；

　　　　 (ii)问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.

[命题意图]本小题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。

[解析](Ⅰ)解：因为椭圆过点(1，)，e=， 所以，.

又a2=b2+c2，所以，故所求椭圆方程为 .

(Ⅱ)(i)设点P(，)，则=，=，因为点不在轴上，所以

，又=2，所以=，

因此结论成立。

11.(全国Ⅰ新卷文20)设,分别是椭圆E：+=1(0﹤b﹤1)的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。

(Ⅰ)求

(Ⅱ)若直线的斜率为1，求b的值。

解：　 (1)由椭圆定义知

　　　　 又

　 　　　(2)L的方程式为y=x+c,其中

　　　　 设,则A，B 两点坐标满足方程组 　

　　　　 化简得　　 则

因为直线AB的斜率为1，所以　　　 即　 　.

则　 解得　 .　　　　

12(山东卷理21)如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长

为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设

P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与

椭圆的焦点分别为A、B和C、D。

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程

(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，

证明：k1·k2=1

(Ⅲ)是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|

恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由。

[解析](Ⅰ)由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为(，0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。

(Ⅱ)设点P(，)，则=，=，所以=

，又点P(，)在双曲线上，所以有，即，所以

=1。

(Ⅲ)假设存在常数，使得恒成立，则由(Ⅱ)知，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，

由方程组消y得：，设，，

则由韦达定理得：

所以|AB|==，同理可得

|CD|===，

又因为，所以有=+

=，所以存在常数，使得恒成立。

[命题意图]本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题(3)是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，

(标准答案)本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质。考查直线和椭圆的位置关系，考查坐标化、定值和存在性问题，考查数行结合思想和探求问题的能力。

解(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a+2c=4(+1)所以a=2，c=2，

又=，因此b=2。故 椭圆的标准方程为

由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。所以m=2，

因此 双曲线的标准方程为

(Ⅱ)设A(，)，B()，P()，则=，。

因为点P在双曲线上，所以。

因此，即

同理可得.

则　 ，

又　 ，所以　 .

故　

因此　 存在，使恒成立.