8. 一个高为H，水量为V的鱼缸的轴截面如图，其底部有一个洞，满缸水从洞中流出，如果水深为h时水的体积为v，则函数的大致图象是(　　 )

(A)　　　　　 (B)　　　　　 (C)　　　　 　(D)

7. 已知约束条件 ，则目标函数z=3x+y的最大值为_______

(A)　　 　(B)12 　　　(C)8　　　 (D)24

6. 已知下列命题(其中为直线，为平面)：

① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；

② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；

③ 若，，则；

④ 若，则过有唯一一个平面与垂直.

上述四个命题中，真命题是(　　 ).

　 　　 A．①，②　　　　 B．②，③

C．②，④　　　　 D．③，④

5. 右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(　　 )

A．i＞10 　　B．i<10　　 C．i＞20　　 D．i<20

4．是(　 )

A．最小正周期为的偶函数　　　　　　　　 B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为的偶函数 　　　　　　　　 D．最小正周期为的奇函数

3．已知复数z满足，则z=______

(A)　 　　(B)　　　 (C)　　　 (D)

2. 如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为________

(A)　　　　　 (B) 　　　　　　(C) 　　　　　(D)

1．设A(1,2)，B(3,－1)，C(3,4)，则=____

(A)　 11　　　　 (B)　 5　　　　 　(C)　 －2　 　　　　(D)　 1

21.(本小题满分14分)

已知函数(a＞0，且a≠1)，其中为常数．如果 是增函数，且存在零点(为的导函数)．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)(x₁<x₂)是函数y＝g(x)的图象上两点，( 为的导函数)，证明：．

[解]：(Ⅰ)因为，

所以． …………………………3分

因为h(x)在区间上是增函数，

所以在区间上恒成立．

若0<a<1，则lna<0，于是恒成立．

又存在正零点，故△＝(－2lna)²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．

所以a>1．

由恒成立，又存在正零点，故△＝(－2lna)²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ………………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)，，于是，．…………8分

以下证明．　　　 (※)

(※)等价于． ………………………10分

令r(x)＝xlnx₂－xlnx－x₂+x，…………………………………12分

r ′(x)＝lnx₂－lnx，在(0，x₂］上，r′(x)>0，所以r(x)在(0，x₂］上为增函数．

当x₁<x₂时，r(x₁)< r(x₂)＝0，即，

从而得到证明．……………………………………………13分

对于同理可证………………………………………14分

所以．

表2．试题知识点分值分布

20.(本小题满分14分)

已知数列的前项和为，若且．

(Ⅰ)求证是等差数列，并求出的表达式；

(Ⅱ) 若，求证．

[解](I)证明：∵

∴当n≥2时，a_n = S_n – S_{n – 1} 　　　　　　　　　　　　-----------1分

又

∴，　　　　　　　　　 -----------3分

　　　　 若S_n = 0，则a_n = 0，

∴a₁ = 0与a₁ =矛盾！

∴S_n≠0，S_{n – 1}≠0．

∴即　　　　　　　　　 　-----------5分

又．

　　　　　 ∴{}是首项为2，公差为2的等差数列　　　　　　　 -----------6分

解：由(I)知数列{}是等差数列．

∴即　　　　　　　　　 -----------7分

∴当 　-----------8分

又当

∴　　　　　　　　　　　　　　 -----------9分

(III)证明：由(II)知　　　　　 　-----------10分

∴

　　　　　　　　 　-----------12分

　　　　　　　　 　-----------14分