24、已知抛物线y²=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p. (1)求a的取值范围.

(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.

解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)²=2px,即x²－2(a+p)x+a²=0

∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p²≤p²,即4ap≤－p²

又∵p＞0,∴a≤－.

(2)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，AB的中点 C(x,y),

由(1)知，y₁=x₁－a,y₂=x₂－a,x₁+x₂=2a+2p,

则有x==p.

∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0)?

点N到AB的距离为

从而S_△NAB=

当a有最大值－时，S有最大值为p².

23、已知圆C₁的方程为(x－2)²+(y－1)²=,椭圆C₂的方程为=1(a＞b＞0)，C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程.

解：由e=,可设椭圆方程为=1,又设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则x₁+x₂=4,y₁+y₂=2,

又=1,两式相减，得=0,

即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+2(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0.化简得=－1,

故直线AB的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x²－12x+18－2b²=0.

有Δ=24b²－72＞0,又|AB|=,

得，解得b²=8.故所求椭圆方程为=1.

22、已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)

21、设f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式：

x²+≤f(x)≤2x²+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论.

解：由f(1)=得a+b+c=，令x²+=2x²+2x+x=－1，由f(x)≤2x²+2x+推得

f(－1)≤.由f(x)≥x²+推得f(－1)≥，∴f(－1)=，∴a－b+c=，

故2(a+c)=5，a+c=且b=1，∴f(x)=ax²+x+(－a).依题意：ax²+x+(－a)≥x²+

对一切x∈R成立，∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)²≤0，

∴f(x)=x²+x+1易验证：x²+x+1≤2x²+2x+对x∈R都成立.

∴存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式：x²+≤f(x)≤2x²+2x+对一切x∈R都成立.

20、已知抛物线y=x²－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，

BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________.

解析：设P(t,t²－1)，Q(s,s²－1)∵BP⊥PQ,∴=－1,即t²+(s－1)t－s+1=0∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)²+4(s－1)≥0.即s²+2s－3≥0,解得s≤－3或s≥1.

19、A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使

∠OPA=,则椭圆离心率的范围是_________.

解析：设椭圆方程为=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x²－ax+y²=0,两式联立消y得x²－ax+b²=0.即e²x²－ax+b²=0,该方程有一解x₂,一解为a,

由韦达定理x₂=－a,0＜x₂＜a，即0＜－a＜a＜e＜1.答案：＜e＜1

18、正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y²=x上，

则正方形ABCD的面积为_________.

解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y²=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，

利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，

再代入求出|CD|的长. 答案：18或50

17、双曲线=1(b∈N)的两个焦点F₁、F₂，P为双曲线上一点，

|OP|＜5,|PF₁|,|F₁F₂|,|PF₂|成等比数列，则b²=_________.

解析：设F₁(－c,0)、F₂(c,0)、P(x,y),则|PF₁|²+|PF₂|²=2(|PO|²+|F₁O|²)＜2(5²+c²),

即|PF₁|²+|PF₂|²＜50+2c²,又∵|PF₁|²+|PF₂|²=(|PF₁|－|PF₂|)²+2|PF₁|·|PF₂|,

依双曲线定义，有|PF₁|－|PF₂|=4,依已知条件有|PF₁|·|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²

∴16+8c²＜50+2c²,∴c²＜,又∵c²=4+b²＜,∴b²＜,∴b²=1.答案：1

16、直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²－4y²=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.

解析：所求椭圆的焦点为F₁(－1,0),F₂(1,0),2a=|PF₁|+|PF₂|.欲使2a最小，只需

在直线l上找一点P.使|PF₁|+|PF₂|最小，利用对称性可解.?答案： =1

15、已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于(　　 )

A.3　　　　　　 B.　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　 D.

解析：由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2).直线AC所在方程为x－3y+2=0,

点B到该直线的距离为d=.

∵m∈(1,4),∴当时，S_△ABC有最大值，此时m=.答案：B