4、设x>1，S=min{log_x2，log₂(4x³)}则S的最大值为　　 3 　　　　。

解：由题设知S log_x2，S log₂(4x³)，且S>0则

S log₂(4x³)=2+3log₂x=2+2+，

于是S²-2S-30得-1S3当x=时取等号。

3、如图1，设P、Q为△ABC内的两点，且，　　　　　 　　=+则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为　 ( B )

　 A.　 B. 　　C. 　　D.

　　　　　　 图1　　　　　　　　　　　　　 图2

解：如图2设,则由平行四边形法则知NP∥AB，所以=，同理可得。

故即选B.

2、对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．则共有　 30 　　　种不同的染色方法。

解：记凸五边形的各边分别为①、②、③、④、⑤

第一步：将五边分成三组且相邻边不在同一组，则有

①、②④、③⑤　　　　　　 ②、①④、③⑤

③、①④、②⑤　　　　　　 ④、①③、②⑤

⑤、①③、②④

故共有五组

第二步：将三种颜色对应三组进行全排列A=6

由分步计数原理得共有5×6=30种。

1、已知函数y=满足，且方程=0有n个实根x₁,x₂,…x_n,则x₁+x₂+…+x_n=　　 3n　　 。

解：由可得y=的图像图像关于x=3对称。

当n为偶数时，方程=0有n个实根x₁,x₂,…x_n两两成对出现，且成对两根之和为6，

所以x₁+x₂+…+x_n=6×=3n

当n为奇数时，方程=0有n个实根中必有一根为3，其余n-1个根两两成对出现，且成对两根之和为6，所以x₁+x₂+…+x_n=3+3(n-1)=3n

故x₁+x₂+…+x_n=3n。

7．已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，连接AO(O为坐标原点)，交准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形的面积．

解　 当时，．　　　　　　　

当时，令．设，则由

，　　 ①

，　　 ②

消去x得，，所以

　 ， ．　 ③

又直线AO的方程为：，即为，所以，AO与准线的交点的坐标为，而由③知，，所以B和的纵坐标相等，从而轴．同理轴，故四边形是直角梯形

所以，它的面积为

．

6．数列定义如下：，且当时，

已知a_n=，则正整数n=　　　　 。

解：由题设易知，．又由，可得，当n为偶数时，；当是奇数时，．

　a_n=＞1　　n为偶数，a_n=＝+1

＝＜1　　为奇数，＝＝

＝2＞1　　为偶数，＝2＝+1

＝1　　　　　　　　　　　 ＝a₁

故　　即n=6

5．已知，且xy＝1，则的最小值是　(　)

　A、　B、　C、　D、

解：由已知得，所以

　＝

　　　当且仅当，即时，取等号

　　故当时，有最小值

4．在数列中，＝2，，设为数列的前n项和，则的值为　　　

解：法－　

当n为偶数时，，故

当n奇数时，，，故

　故

法二

由＝2，，可得a_n=

=S₂₀₀₇-S₂₀₀₆-(S₂₀₀₆-S₂₀₀₅)=a₂₀₀₇-a₂₀₀₆=2-(-1)=3

3．若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为　　　　 　.

解：从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为　，共种，因此集合中至多有 个数。故答：.

2．如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，点D、E分别是边AB、AC上的点，线段DE经过△ABC的中心G，，(0＜m1,0<n1)。

(1)求证：＝3

(2)求△ADE的面积的最小值和最大值。

解：(1)如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心

F为BC的中点，则有

，，

　即

D、G、E三点共线

　故＝3

(2)△ABC是边长为1的正三角形

，　　 S＝mn

由=3，0＜m1,0<n1

n=,　即。

S＝mn＝

设t=m-则m=t+()

S=mn=(t++)

　易知在为减函数，在为增函数。

t=时，取得最小值，即S取得最小值

又，取得最大值是，则S取得最大值