3. 直线与平面平行的性质定理：

[典型例题]

[例1] ，，，求证：。

证：过作

　　 ∴

　　 过作

　　 ∴

∴

[例2] 、异面，求证过与平行的平面有且仅有一个。

证：存在性，过上一点作直线

　　 确立平面

　　 ∴

　　 唯一性，假设存在，，

∴ ，，

由例1

∴ 与已知矛盾

∴ 只有一个

[例3] 为空间一点，、异面，过作与、均平行的平面可作个。

个或个，过存在平面，。

　　　　　 过存在平面，。

① 或　　　 个

② 且　　　 个

可用反证法证明只有一个。

[例4] 正方形交正方形于，、在对角线、上，且，求证：平面。

证：过作交于

　　 过作交于

　　 ，

又∵ 　

面

[例5] 如图，异面直线、，，，为中点，，，，，，，求：为中点。

证：连交于，连、

　　 ∴

[例6] 三个平面两两相交不共线，求证三条直线交于一点或两两平行。

证：设，，

　　 ∴ 、

　　 (1)若

　　 (2)若

∴ 、、交于一点

[例7] 为　 所在平面外一点，，，且，求证：面。

证：连交于，连，

∴ ∽

∴

在中，

∴ 面

[例8] 、异面直线，为空间任一点，过作直线与、均相交，这样的直线可以作多少条。

解：，或无数。

　　 过存在唯一个平面

　　 过存在唯一个平面

　　 ① 若或，有无数条

② 若或，且且

　 直线不存在

③ 且，有且只有一条。

　 ，过、作平面

　 ∴

∴

连与相交

∴ 存在与、均相交

假设有两条过的直线、与、均相交

，确立平面

与、各有一个交点

∴

同理，与、异面矛盾

∴ 假设不成立

∴ 只有一条

[例9] 、、两两异面，空间与、、，均相交的直线有多少条？

证：存在，，，

　　 存在，，

　　 与、异面，中有无数个点在、外

　　 每一个点可作一条线与、均相交

　　　　 ∴ 无数条

[模拟试题]

2. 直线与平面平行的判定定理：

1. 直线平面的位置关系：

(1)，直线在平面内，有无数个公共点，

(2)，直线与平面相交，只有一个公共点。

(3)，直线与平面平行，无公共点。

直线与平面平行

20. 在棱长为1的正方体中

(1)P、Q分别是、上的点且，(如图甲)。求证：PQ//平面

(2)M、N分别是、的中点(如图乙)，求直线AM与CN所成的角

(3)E、F分别是AB、BC的中点(如图丙)，试问在棱上能否找到一点H，使平面？若能，试确定点H的位置，若不能，请说明理由。

19. 已知S是所在平面外一点，O是边AC的中点，，点P是SA的中点。

(1)求证：平面ABC

(2)求证：平面BOP

(3)若是等腰直角三角形，且，又SC与平面BOP的距离为，求二面角的大小。

18. 如图，直三棱柱中，，，D为棱的中点。

(1)求异面直线与所成的角；

(2)求证：平面平面ADC

17. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将折起，使二面角为。

(1)求DE与平面AC　　　 所成角的大小

(2)求二面角的大小

16. 已知、是两个不同的平面，，是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：① ；② ；③ ；④ 。以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　　　 。

15. 如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围成正方体的是　　　 (要求：把你认为正确图形的序号都填上)。