18．(本小题满分12分)

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

(Ⅰ)求取出的4个球均为黑球的概率；

(Ⅱ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

(Ⅲ)设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．

18．(本小题满分13分，其中(Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问9分)

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：

(Ⅰ)获赔的概率；

(Ⅱ)获赔金额的分布列与期望．

(18)(本小题13分)

解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，独立，

且，，．

(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为

．

(Ⅱ)的所有可能值为，，，．

，

，

，

．

综上知，的分布列为

求的期望有两种解法：

解法一：由的分布列得

(元)．

解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，

则有分布列

故．

同理得，．

综上有(元)．

四川理

(12)已知一组抛物线，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是

(A)　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　　 (D)

(18)(本小题满分12分)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.

(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;

(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率.

(18)本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。

解：(Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A

　 用对立事件A来算，有

(Ⅱ)可能的取值为

　　　　 ，，

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率

所以商家拒收这批产品的概率为

四川文

(3)某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为：150，152，153，

149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是

(A)150.2克　　　　　　　 (B)149.8克　　　　　　 (C)149.4克　　　　　　　　　 (D)147.8克

天津理

※设L₁、L₂是两条异面直线，其公垂向量为，又C、D分别是L₁、L₂上任意一点，则

则L₁、L₂间的距离

[例5]已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为，求异面直线BD与B₁C的距离。

解：如图,建立空间直角坐标系，则

设DB与B₁C的公垂向量

(例5图)

则

令x=－1，则　 又，

所以异面直线BD与B₁C的距离为.

※如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂线PO，记PA和平面a所成的角为q，则点P到平面的距离为

[例4]设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),

求D到平面ABC的距离。

解：设平面ABC的法向量

　

即

∴点D到平面ABC的距离为

※如图在二面角中和分别为

平面a和b的法向量若二面角,记二面角的大小为q。

(ⅰ)若该二面角为锐二面角，则或(依据两平面法向量的方向而定)，但总有=，所以此时。

(ⅱ)若二面角为钝二面角，

则或

(依据两平面法向量的方向而定)，

但总有=

所以此时

[例3]已知三棱锥P-ABCD中PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，

∠BAD=60⁰，AB=2，PA=4，E为PC的中点。

(1)求证：平面BDE⊥平面ABCD

(2)求B-DE-C的大小

证明：(1)易证(略)

(2)设AC∩BD=O，连结OE，

以O为原点建立空间直角坐标系(如图)

由(1)得为平面EBD的法量，.

设平面CDE的法向量

,　 所以B-DE-C为。

※直线与平面平行是直线与平面的法向量垂直问题，只取和直线平行的向量，验证该向量和平面的法向量的内积是否为零即可。

[例2]如图，四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45⁰，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90⁰，PA=BC=AD=

(1)求证：平面PAC⊥平面PCD(略)

(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由。

解：分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系(如图)

则P(0,0,),C(,,0),D(0,2,0)

设在棱PD上存在点E坐标为(0,y,z),

则

(例2图)

是平面PAB的法向量，又

由CE//面PAB，

代入得

∴E是PD中点，

即存在点E使得CE//面PAB。

※直线与平面所成的角,是直线与平面的法向量所成的角(取锐角)的余角。

如图，已知PA为平面a的一条斜线，为平面a的一个法向量，过P作平面a的垂线PO，连结OA则ÐPAO为斜线PA和平面a所成的角记q，易得

　　　

则=

[例1]如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90⁰，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点。

(1)证明：DF//平面ABC(略)

(2)求AB与平面BDF所成角的大小。

(例1图)

解：以B为原点，BA、BC、BE所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系(如图)。设平面BDF的一个法向量　

，而

则得　 所以

又设AB与平面BDF所成角为，则法线与所成的角为

即，故AB与平面BDF所成的角为

　用法向量求解,不用作出AB与平面BDF所成的角,从而避开了作图的难度。

要证两平面相互垂直，只需找出这两个平面的两个法向量，证明这两个法向量相互垂直。

例9、　　 如右图，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，

BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点。　　　　　 E

求证：(1)DE=DA；　　　　　　　　　　　　　　　　　　 M　　　　　 D

(2)平面BDM⊥平面ECA；　　　　　　　　　 C　　　　　　　　 B

(3)平面DEA⊥平面ECA；　　　　　　　　　　　　　 A

分析(3)：建立如图所示右手直角坐标系 ，不妨设CA=2，则CE=2，BD=1，C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)， ， ， ， 分别假设面CEA与面DEA的法向量是、，所以得　　　　

　　 　　　　　

　　 　　　　　　　　　

　　 　　　　　

　 　　　　　　　　

不妨取、，从而计算得，所以两个法向量相互垂直，两个平就相互垂直。

　 事实证明，法向量在求角、距离以及证明平行垂直中都有非常广泛的应用，它在中学数学中的出现，是对传统的立体几何知识一个很好的补充及加深。

如果有一向量垂直于平面α，则向量叫做平面α的法向量。要证两个平面平行，只需证这两个平面同时垂直于它们的法向量。

例8、已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：平面A₁BD∥平面B₁D₁C

分析：作如图所示右手直角坐标系，　　　　 D　　　　　　 C

则各点坐标是A₁(1，0，0)，　　　　　 A　　　　　 B

D₁(0，0，0)，B₁(1，1，0)，　　　　　　 D1　 　　　　　C1

B(1，1，1)，D(0，0，1)，　　　　 A1　　　　 B1

C(0，1，1) ，则=(0，1，1)，

　=(-1，-1，0)，设平面A₁BD有一法向量=(x,y,z)，则

　　　 y+z　　　　　　 -x +-y =0　　　　　　　　

　 x=z　　　　　　 y=-z　　　　　　　　　 

不妨取z=1，则=(1，-1，1) ，又由=(-1，-1，0)， =(0，1，1)，易知=, =,所以与都与垂直，所以与平面B₁D₁C垂直，从而得到平面A₁BD∥平面B₁D₁C

如图，要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦，易知θ=或者

例7、如下图，已知正四面体ABCD的边长为2，E为AD的中点，求EC与平面BCD所成的角。

分析：作AO⊥平面BCD，连结OD，并且　　　　　　　　　　　 A

过O作OF∥BC交CD于F，建立如图所　　　　　　　　　　　　 E

示右手直角坐标系，则O(0，0，0)，　　　　 B　　　 O　　　　　 D

E(0，，), 　　　C　　　　 F

易取得平面BCD上的一个法向量，所以，观察与的方向，易知EC与平面BCD所成的角是