1．已知向量，则是的

A 充分而不必要条件　　 B必要而不充分条件　　　 C充要条件　 D既不充分也不必要条件

21、(1)(本小题满分7分)

已知矩阵对应的线性变换把点变成，求矩阵A的特征值

以及属于每个特征值的一个特征向量。

21(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换

　　　 　　　　　 本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求

解能力。满分7分。

解：由，得　　　　 …………………………………………　　　 2分

矩阵A的特征多项式为。　　　　 ……………　 　　　 4分

令，得矩阵A的特征值，。　　 ………………………　 　　　 5分

对于特征值，解相应的线性方程组，得一个非零解。

因此，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。………　　 　　　 6分

对于特征值，解相应的线性方程组，得一个非零解。

因此，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量　 …………　　 　　　 7分

注：写出的特征向量只要满足，即可。

(2)(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线经过点，且倾斜角为，圆C的参数方程为(

是参数)。直线与圆C交于、两点，求、两点间的距离。

(2)(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　 本小题主要考查圆的参数方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。

　　　　　　　　　　　　　　　　　 满分7分。

解法一：

　　　　　　　　　　　　　　　　　 将圆的参数方程化为普通方程，得。………………………　 　　　 2分

　　　　　　　　　　　　　　 　　　 直线的方程为，即。　 ………………　　 　　　 3分

　　　　　　　　　　　　　　　　　 圆心到直线的距离，　　　　　　　　 ………………………　 　　　 5分

　　　　　　　　　　　　　　　　　 所以。　　　　　　 ……………………………………………　 　　　 7分

解法二：

　　　　　　　　　　　　　　　　　 直线的参数方程为，即(t为参数)，…………　 　　　 1分

　　　　　　　　　　　　　　　　　 将圆的参数方程化为普通方程，得。………………………　 　　　 3分

　　　　　　　　　　　　　　　　　 将直线的参数方程代入圆的普通方程得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，即。　　　　　 …………………………　　 　　　 4分

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵，，…………………………………………………　 　　　 5分

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴、两点间的距离为。　　　　　　 ……………………………………………　 　　　 7分

(3)(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲

　　　　　　　　　　　　　　　　　 解不等式：。

(3)(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲

本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。

解：　　　 当时，原不等式可化为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，解得：或。

∴。………………………………………………………………………　 　　　 2分

当时，原不等式可化为：

，解得：或

∴。　　　　　 ………………………………………………………………　　 　　　 4分

当时，原不等式可化为：

，解得。

∴。　　　　　　　　　 ……………………………………………………………………　　 　　　 6分

综上所述，原不等式的解集为。　　　　　　　 …………………　 　　　 7分

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20、本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形

结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分14分。

解法一：

(Ⅰ)　　 …………………………………………………………　　　 2分

当，，函数在内是增函数，

∴函数没有极值。　　　　　　　 ……………………………………………………　　　 3分

当时，令，得。

当变化时，与变化情况如下表：

	+	0	－
	单调递增	极大值	单调递减

∴当时，取得极大值。

综上，当时，没有极值；

当时，的极大值为，没有极小值。　　　　　　　　　　 ……………　　　　　 5分

(Ⅱ)(ⅰ)设是曲线上的任意两点，要证明

有伴随切线，只需证明存在点，使得

，且点不在上。　　　　　　　 …………………………　　　 7分

∵错误！不能通过编辑域代码创建对象。，即证存在，使得，即成立，且点不在上。　　 …………………　　 8分

以下证明方程在内有解。

记，则。

令，

∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。，

∴在内是减函数，∴。

取，则，即。……　　　　　　 9分

同理可证。∴。

∴函数在内有零点。

即方程在内有解。………………　　　　　　 10分

又对于函数取，则

可知，即点Q不在上。

是增函数，∴的零点是唯一的，

即方程在内有唯一解。

综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。

……………………………………………………………………………　　 11分

(ⅱ)取曲线C：，则曲线的任意一条弦均有伴随切线。

证明如下：

设是曲线C上任意两点，

则，

又，

即曲线C：的任意一条弦均有伴随切线。　　 …………………　　　　　 14分

注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分。若只给曲

线，没有给出正确的证明，不给分。

解法二：

(Ⅰ)同解法一。

(Ⅱ)(ⅰ)设是曲线上的任意两点，要证明

有伴随切线，只需证明存在点，使得

，且点不在上。　 ……………………………　　 7分

∵，即证存在，使得，

即成立，且点不在上。　　　 ……………　　 8分

以下证明方程在内有解。

设。

则。

记，

∴，

∴在内是增函数，

∴。　 ……………………………………………　　 9分

同理。。

∴方程在内有解。　　　 …………　　　 10分

又对于函数，

∵，，

可知，即点Q不在上。

又在内是增函数，

∴方程在内有唯一解。

综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。

……………………………………………………………………………　　 11分

(ⅱ)同解法一。

20、(本小题满分14分)

已知函数

(Ⅰ)求函数的极值；

(Ⅱ)对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，

且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随切线。

特别地，当时，又称为的λ-伴随切线。

(ⅰ)求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；

(ⅱ)是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出

一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。

19、本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形

结合思想和化归与转化思想等。满分13分。

解法一：

(Ⅰ)设椭圆的方程为。　　　　　　　 …………………………　　 　　　 1分

∵，，∴，。　　　 ………………　　 　　　 4分

∴椭圆的方程为。　 ………………………………………　 　　　 5分

(Ⅱ)取得，

直线的方程是直线的方程是

交点为　　　　　 ………………………………………………………　 　　　 7分

若，由对称性可知交点为

若点在同一条直线上，则直线只能为。　　　　　 …………………　 　　　 8分

以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。

事实上，由

得即，

记，则。…………　 　　　 9分

设与交于点由得

设与交于点由得………　 　　　 10分

，　　　　　　　　　　 ……………………………………………　 　　　 12分

∴，即与重合，

这说明，当变化时，点恒在定直线上。　　　　　　　 ………………　　 　　　 13分

解法二：

(Ⅰ)同解法一。

(Ⅱ)取得，

直线的方程是直线的方程是

交点为 ……………………………………………………………　 　　　 7分

取得，

直线的方程是直线的方程是交点为

∴若交点在同一条直线上，则直线只能为。　　　　　　　 ………………　　 　　　 8分

以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。

事实上，由

得即，

记，则。………………　　 　　　 9分

的方程是的方程是

消去得……………………………………　 ①

以下用分析法证明时，①式恒成立。

要证明①式恒成立，只需证明

即证即证………………　 ②

∵∴②式恒成立。

这说明，当变化时，点恒在定直线上。

解法三：

(Ⅰ)同解法一。

(Ⅱ)由

得即。

记，则。……………　 　　　 6分

的方程是的方程是　　　 ……　　 　　　 7分

由得　 …………………　 　　　 9分

即

………………………………　　 　　　 12分

这说明，当变化时，点恒在定直线上。　　　　　　　　　 ………………　　 　　　 13分

19、(本题满分13分)

　　　　　　　　　　　　 已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分

别为，。

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆C交于P、Q两

点，直线与交于点S。试问：当

m变化时，点S是否恒在一条定直线上？

若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

18、本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间

想象能力，推理论证能力和运算求解能力。满分13分。

解法一：

(Ⅰ)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD

……………………………………　　 4分

注：多写的按前四对给分，每正确一对，给一分。

CD⊥平面PAC也符合要求。

(Ⅱ)依题意AB、AD、AP两两垂直，分别以直线AB、AD、AP为x、y、z轴，

建立空间直角坐标第，如图。　　　　 ……………………………………………　　 5分

则，，，。

∵E是PA中点，∴点E的坐标为，

，，。

设是平面PCD的法向量。

由，即

取，得为平面PCD的一个法向量。　　　　 ………………　　　　　　　 6分

∵，∴，　　　　 ………………………　　 7分

∴∥平面PCD。又BE平面PCD，∴BE∥平面PCD。　 …………　　　 8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)，平面PCD的一个法向量为，　　　　 …………………　　 10分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量为　　　　 ……　　　 11分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴。　　　　 …………………………………………　　　 13分

解法二：

(Ⅰ)同解法一。

(Ⅱ)取PD的中点F，连接EF、CF。

∵E、F分别是PA、PD的中点，

∴EF∥AD，EFAD，∴EF∥BC，且EFBC，

∴四边形BEFC是平行四边形，∴BE∥CF。　　　　　　　 …………………………　　　 6分

又∵CF平面PCD，BE平面PCD，

∴BE∥平面PCD。　　　　　 ………………………………………………………　 　　　 8分

(Ⅲ)依题意AB、AD、AP两两垂直，分别以直线AB、AD、AP为x、y、z轴，

建立空间直角坐标第，如图。　 ……………………………………………　　 9分

则，，。

∵E是PA中点，∴点E的坐标为，

，。

设是平面PCD的法向量。

由，即

取，得为平面PCD的一个法向量。　　　　 ………………　　　　　　　 10分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量为　　　　 ……　　　 11分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴。　　　　 …………………………………………　　　 13分

解法三：

　　　　　　　 (Ⅰ)同解法一。

(Ⅱ)取AD的中点N，连接EN，BN，

∵E、N分别是PA、AD的中点，

∴EN∥平PD，又EN平面PCD，

∴EN∥平面PCD　　　　 ……………………………………………………………　　 5分

在直角梯形ABCD中，BC∥AD且BCADDN，

∴四边形BCDN是平行四边形，BN∥CD。

又∵平面PCD，∴BN∥平面PCD。　　　　　　 ………………………………　　　 6分

∵，∴平面BEN∥平面PCD。……………………………… 　　　 7分

又BE平面BEN，∴BE∥平面PCD。　　　　　 …………………………………　 　　　 8分

(Ⅲ)同解法二。

18、(本小题满分13分)

　　　　　　　　　　　　　　 四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示。

(Ⅰ)写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；

(Ⅱ)在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD；

(Ⅲ)在四棱锥P－ABCD中，设面PAB与面PCD所成的角为，求

的值

17、本小主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分13分。

解：(Ⅰ)　　 作出茎叶图如下：

………………………………………　　　　 4分

(Ⅱ)　　 派甲参赛比较合适。理由如下：

，

，

，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵，，

∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。　　 ………………………………　　　　　　　 8分

注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分。如

派乙参赛比较合适。理由如下：

从统计的角度看，甲获得85分以上(含85分)的概率，

乙获得85分以上(含85分)的概率。

∵，∴派乙参赛比较合适。

(Ⅲ)　　　 记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 则。　　　　　　　 …………………………………………………………　　　　　　　 9分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 随机变量的可能取值为0、1、2、3，且。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴，。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 所以变量的分布列为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

	0	1	2	3
P

……………………………………………………………………………　　　　　　 11分

。

(或)　　　　 ………………………………………………　　　　　　　 13分

17、(本小题满分13分)

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中

随机抽取8次，记录如下：

甲　　　　　　　　　　　　 82　　　　　　　　　　　　 81　　　　　　　　　　　　 79　　　　　　　　　　　　 78　　　　　　　　　　　　 95　　　　　　　　　　　　 88　　　　　 　　　　　　　 93　　　　　　　　　　　　 84

乙　　　　　　　　　　　　 92　　　　　　　　　　　　 95　　　　　　　　　　　　 80　　　　　　　　　　　　 75　　　　　　　　　　　　 83　　　　　　　　　　　　 80　　　　　 　　　　　　　 90　　　　　　　　　　　　 85

(Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据；

(Ⅱ)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参

加合适？请说明理由；

(Ⅲ)若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成

绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望。