3．数学模型为指数函数的问题

一般地，形如的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数作为模型的应用问题很常见.

［例］某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：)

［分析］每次过滤杂质含量降为原来的，过滤次后杂质含量为，结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型.

［解析］依题意，得，即.则，故考虑到，即至少要过滤8次才能达到市场要求。

2．数学模型为二次函数的问题

二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。

［例］渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量吨和实际养殖量吨与空闲率的乘积成正党组织，比例系数为

(1)写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

(2)求鱼群年增长量的最大值；

(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求的取值范围.

［例］(1)；

(2)∵

∴当时，取得最大值

(3)依题意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长量的和小于最大养殖量，即

因为当时，，所以联想到“”这一等价转化命题，则有

，解得

但，从而得

思考：本题中空闲养殖量与实际养殖率的关系如何？而实际养殖率与实际养殖量、最大养殖量的关系又是如何？

1．数学模型为一次函数的问题

一次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过。

［例］某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离(km)表示为时间(h)(从A地出发时开始)的函数，并画出函数的图象；再把车速(km/h)表示为时间(h)的函数，并画出函数的图象.

［解］汽车离开A地的距离km与时间h之间的关系是：

它的图象右如图所示.

速度km/h与时间t h的函数关系是：

它的图象如右图所示

2．　 根据两个例题的证明，你能否给出证明函数单调性的一般步骤，在这些步骤中你认为最关键的地方是什么？

3有的同学证明在上是减函数时是这样证的，你是否认可其作法，为什么？

证明：设，则，即，根据定义可得在上是减函数

4完成课后练习A第3，4题，习题2-1A第5题

5证明：在和上均为减函数，并说明在整个定义域上是否为减函数？

[典例讲解]

例1．求下列函数的增区间与减区间

(1)y＝|x²+2x－3|

例2．已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：

(1)f(6)与f(4)

例3．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x³+1在(－∞，+∞)上是减函数．

1．　 不看课本你能否独立完成两个例题的证明

(1)　　　 证明函数在R上是增函数

(2)　　　 证明函数，在区间上分别是减函数

2._____________

1.­_____________

6.会证明函数的单调性

[知识再现]

5.理解函数的单调性