19.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

且满足

(1)证明：成等差数列且B≤；

(2)求函数的最大值．

解：(1)

成等差数列

由余弦定理，得．

因为，．

由0＜B＜π，得B≤

　(2)

B≤

18. 已知分别以为公差的等差数列满足。　　　 　　　　　　

(1)若，且存在正整数，使得，求证：；　

(2)若，且数列的前项和满足

，求数列的通项公式；　　

(3) 在(2)的条件下，令，问不等式是否对 恒成立？请说明理由。

解：(1)依题意，，

　　　 　即， 即；

　　　 等号成立的条件为，即 ，

　　　 ，等号不成立，原命题成立．

　 (2)由得：，即：，

　　　 则，得

　　　 ，，则，；

　(3)在(2)的条件下，，，

　　　 要使≤，即要满足≤0，

　　　 又，，∴数列单调减；单调增，

①　　 当正整数时，，，；

②　　 当正整数时，，，；

③ 当正整数时，，，，

　 综上所述，对∈N₊，不等式≤恒成立．

17. 过点的直线交轴、轴正半轴于两点，求使：

(1)△面积最小时的方程；

(2)最小时的方程.

解　 方法一　 设直线的方程为 (a＞2,b＞1),

由已知可得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)∵2≤=1，∴ab≥8.∴S_△AOB=ab≥4. 　　　　　　　　　　　

当且仅当==,即a=4,b=2时，S_△AOB取最小值4，

此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.

(2)由+=1,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,

=·

=≥.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4.

此时直线l的方程为x+y-3=0.　　　　　　　

方法二　 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0),

则l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B(0，1-2k).

(1)S_△AOB=(1-2k)=×≥(4+4)=4.

当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.

当且仅当=4k²,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.

16.已知关于的一元二次函数.

(1)设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；

(2)设点(，)是区域内的随机点，求上是增函数的概率.

解：(1)∵函数的图象的对称轴为

要使在区间上为增函数，

当且仅当>0且　　　　

若=1则=－1，　 若=2则=－1，1；　 若=3则=－1，1；　

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为.

(2)由(Ⅰ)知当且仅当且>0时，

函数上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为

构成所求事件的区域为三角形部分. 由

∴所求事件的概率为.

15. 某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：

组号	分组	频数	频率
第一组		8	0.16
第二组		①	0.24
第三组		15	②
第四组		10	0.20
第五组		5	0.10
合　　　　　　　 计	50	1.00

(1)写出表中①②位置的数据；

(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；

(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．

解： (1) ①②位置的数据分别为12、0.3；　 ……………………………4分

(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；……………………8分

(3) 设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}

共有15种．……………………………………………………………10分

记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．………………………………………………………………………12分

所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为．………14分

14.已知等比数列的首项为公比为则点所在的定直线方程为_____________________答案：

13. 直线l：过点，若可行域的外接圆的直径为，

则实数n的值为________________..答案：或

12.已知方程的四个根组成一个首项为的等比数列，则

|m-n|=　　　　 答案：

11.已知二次函数的值域为，则的最小值

为　　 　　　．答案：

10.如图，半径为8 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为　　　　　 . 答案：