4.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中, BD₁与底面ABCD所成角的正弦值为_______.

3.某校高一年级有700人,高二年级有800人,高三年级有1000人,用分层抽样的方法抽取100人参加学校的座谈会,则高三年级应抽取________人.

2.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a,点E、F、G、H分别是棱AB、AD、A₁B₁、B₁C₁的中点,则异面直线EF、GH的距离为_____________.来源：高@考@资@源@网

1.若f(x)=x³+x+a,则f′(2)=_____________.

21．(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)∵有两个不等正根，

即方程有两个不等正根、…………………………………1分

∴且，………………………………2分

解得：　 …………………………………………………………3分

(Ⅱ) ……………………………4分

令，则的对称轴为

∴在上的最小值为

………………………5分

∴　 ……………………………………………………………6分

于是在上单调递增。　 ………………………………7分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：在上单调递增

∴………………………8分

即 　　　　　　

又，

解得：　 ……………………………………………………9分　　　　　　　　　　

∴，∴，

∴在上递增，在上递减且当时，

∴，　 ………………10分

又当时，；当时， …………………11分

∴当时，方程有3个不同的解

∴实数的取值范围为 。　 …………………………12分

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20．(本小题满分12分)

(Ⅰ)证明：由四边形为菱形，，

可得为正三角形。因为为的中点，所以。 …………1分

又∥，因此。…………………………………………………2分

因为平面，平面，所以。 ………3分

而，所以平面。 ………………………………4分

又平面，所以。 ……………………………………5分

(Ⅱ)解：设，为上任意一点，连接、

由(Ⅰ)可知：平面，

则为与平面所成的角。……………………………………………6分

在中，，

所以当最短时，最大， ………………………………………………7分

即当时，最大，此时。　　　　　　

因此。又，所以，于是。 ……………………8分

因为⊥平面，平面，

所以平面平面。　 …………………………………………9分

过作于，则由面面垂直的性质定理可知：平面，

过作于，连接，

则由三垂线定理可知：为二面角的平面角。　 ……………………10分

在中，，

又是的中点，在中， 　　　　　　

又　 ………………………………11分

在中，

即二面角的余弦值为。　 ………………………………12分　　　　 　　

19．(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)由题意可知，甲喊一次就获胜的概率为。…………………5分

(Ⅱ)喊一次：甲胜的概率为 …………………………………………6分

甲乙不分胜负的概率为 …………………………8分

甲负的概率为 ……………………………………………9分

∴甲在喊不超过三次的情况下就获胜的概率为。 ………12分

18．(本小题满分13分)

解：(Ⅰ)∵　 ∴　 ………………1分

又函数处取得极值　 ∴①………………3分

又函数的图象与直线在点(1，0)处相切

∴② ………………………………………………………4分

③ ………………………………………………………………6分

由①②③解得：，，。……………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得：，　 ……8分

当时，，函数的单调递减区间为； …………………10分

当或时，，函数的单调递增区间为，。…13分

17．(本小题满分13分)

解：(Ⅰ)令，则展开式的各项系数和为 ………………………………3分

又展开式的各项二项式系数和为 ……………………………………………5分

∴即　 ………………………………………………………………6分

于是 ……………………………………………………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：　 ∴展开式的中间两项二项式系数最大………9分

即 ……………………………………………11分

。 ………………………………………13分

16．(本小题满分13分)

(Ⅰ)证明：连结，令，则为的中点………1分

而为的中点　 ∴∥ ………………………………………………3分

又，

∴∥平面………………………………………………………………6分

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知：∥

∴(或其补角)为异面直线与所成的角 …………………………………………………8分

又正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点

∴，，，…………………………9分

在中， …………………………………11分

∴异面直线与所成的角为。 ……………………………………………………………13分