(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化

说明　 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出 现.

例2　 极坐标方程表示的曲线C₁∶ρ=f(θ),C₂∶ρ=-f(π+θ)必定是(　　 )

A.关于直线θ=对称　　　　　　 B. 关于极点对称

C.关于极轴对称　　　　 　　　　D.同一曲线

解：因(ρ，θ)与(-ρ，π+θ)表示相同的点，

故选D.

(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化

例1　 在圆x²+y²-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.

解：　 将圆的方程化为参数方程：

　(θ为参数)

则圆上点P坐标为(2+5cosθ，1+5sinθ)，它到所给直线的距离为d==｜4cosθ+3sinθ +6｜=5·｜(cosθ+sinθ)+｜ =5｜cos(φ-θ)+ ｜，其中cosφ=，sinφ= .故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).

3.极坐标

极坐标系　 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一 不可.

点的极坐标　 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)

极坐标和直角坐标的互化

(1)互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；

②极轴与x轴的正半轴重合

③两种坐标系中取相同的长度单位.

(2)互化公式

2.圆锥曲线的参数方程

(1)圆　 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是

　(是参数)

φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，∈［0,2π］(见图)

　(2)椭圆　 椭圆=1(a＞b＞0)的参数方程是

　　 (为参数)

椭圆　 =1(a＞b＞0)的参数方程是

　　 (为参数)

1.直线的参数方程

(1)标准式　 过点Po(x₀,y₀)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是

　(t为参数)

(2)一般式　 过定点P₀(x₀,y₀)斜率k=tgα=的直线的参数方程是

　　 (t不参数)　　　　 ②

在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a²+b²=1,②即为标准式，此时， ｜ t｜表示直线上动点P到定点P₀的距离；若a²+b²≠1，则动点P到定点P₀的距离是

｜t｜.

直线参数方程的应用　 设过点P₀(x₀,y₀),倾斜角为α的直线l的参数方程是

　　 (t为参数)

若P₁、P₂是l上的两点，它们所对应的参数分别为t₁,t₂，则

(1)P₁、P₂两点的坐标分别是

(x₀+t₁cosα,y₀+t₁sinα)

(x₀+t₂cosα,y₀+t₂sinα)；

(2)｜P₁P₂｜=｜t₁-t₂｜;

(3)线段P₁P₂的中点P所对应的参数为t，则

t=

中点P到定点P₀的距离｜PP₀｜=｜t｜=｜｜

(4)若P₀为线段P₁P₂的中点，则

t₁+t₂=0.

2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.

1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.

20、

(1)解：作出椭圆的左准线l，作MN⊥l交l于点N，设M(x，y)，椭圆的离心率是e，椭圆的半焦距是c，根据椭圆的定义得：，

所以 ，

同理可得：

所以 ，其中

由得最小值为得：

，解得： ………………………………………　 4分

[注：若学生没有证明，而直接使用此结论，则(1)中扣去1分]

(2)解：依题意得双曲线C₂的离心率为2，

设C2的方程是

假设存在适合题意得常数λ(λ＞0)

①先来考查特殊情形下的λ值：

当PA⊥x轴时，将x=2c代入双曲线方程，解得| y|=3c，

因为| AF₁|=3c，所以△PAF₁是等腰直角三角形，

∠PAF₁=90^o，∠PF₁A=45^o，此时λ=2 ……………………………………………………　　 7分

②以下证明当PA与x轴不垂直时，∠PAF₁=2∠PF₁A恒成立。

设P(x₁，y₁)，由于点P在第一象限内，所以直线PF₁斜率也存在，

因为PA与x轴不垂直，所以直线PA斜率也存在，

因为，所以，将其代入上式并化简得：

因为∠PAF₁=+∠PA=180^o，所以

即tg2∠PF₁A=tg∠P A F₁　 …………………………………………………………　　 12分

因为，，

所以，所以恒成立。

综合①、②的：存在常数λ=2，使得对位于双曲线C₂在第一象限内的任意一点P，恒成立 …………………………………………………………………　 14分

[注：②中如果学生认为，本题不扣分]

19、

(1)解：从2001年起的第x年(2001年为第1年)该企业的总产值是16000+1000x(万元)，此时该企业的员工数为2000+(m－50)x(人)，…………………………………　 2分

所以 ，(1≤x≤10，x∈N)， ……………………………………　　 5分

(2) 解：依题意，该函数为定义域上的增函数

任取1≤x₁＜x₂≤10，x₁、x₂∈N，

f (x₁)－f (x₂) =

　　　　　 = 　…………………………………　 8分

令f (x₁)－f (x₂)＜0，∵1≤x₁＜x₂≤10，m＞50，

∴x₁－x₂＜0，2000+(m－50)x₁＞0， 2000+(m－50)x₂＞0 ，

∴＞0，解得：m＜175

∵m∈N，∴该企业每年录用新员工至多为174人　 …………………………………　 12分

18、

(1)解：因为函数f (x)=－3x+3，的值域是[0，1]

所以f (x)的反函数为g (x)=， …………………………………………　　 3分

(2)解：依题意得

所以

即　　

根据等比数列的定义得：数列是公式为的等比数列……………………　　 7分

所以　

所以　 　……………………………………………………　　 9分

所以　 ………………………………………………　　 11分

(3)解：

显然当n是偶数时，此不等式不成立；

当n是奇数时，

所以原不等式的解为n=1或n=3 ……………………………………………………　 14分