2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版
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1.若集合$A = \{ x | 0\leqslant x ＜ 2 \}$，$B = \{ x | -1\leqslant x ＜ 1 \}$，则$A\cap B=$（
B
）
A.$\{ x | -1 ＜ x ＜ 2 \}$
B.$\{ x | 0\leqslant x ＜ 1 \}$
C.$\{ x | 0 ＜ x ＜ 2 \}$
D.$\{ x | -1 ＜ x ＜ 1 \}$
答案：B
解析：$A$范围$0\leqslant x ＜ 2$，$B$范围$-1\leqslant x ＜ 1$，交集为$0\leqslant x ＜ 1$，即$\{ x | 0\leqslant x ＜ 1 \}$。
2.若集合$A = \{-1,1,2,3,5\}$，$B = \{2,3,4\}$，$C = \{ x\in\mathbf{R} | 1\leqslant x ＜ 3 \}$，则$(A\cap C)\cup B=$（
D
）
A.$\{2\}$
B.$\{2,3\}$
C.$\{-1,2,3\}$
D.$\{1,2,3,4\}$
答案：D
解析：$A\cap C = \{1, 2\}$，$(A\cap C)\cup B = \{1, 2, 3, 4\}$。
3.若集合$A = \{ x | -1 ＜ x ＜ 2 \}$，集合$B = \{ x | 1\leqslant x\leqslant 3 \}$，则（
A
）
A.$A\cup B = \{ x | -1 ＜ x\leqslant 3 \}$
B.$A\cap B = \{ x | -1 ＜ x ＜ 2 \}$
C.$A\cap B = \{ x | -1\leqslant x ＜ 2 \}$
D.$A\cup B = \{ x | -1 ＜ x ＜ 3 \}$
答案：A
解析：$A\cup B$取所有覆盖区域，即$-1 ＜ x\leqslant 3$；$A\cap B$是$1\leqslant x ＜ 2$，所以A正确。
4.若集合$M = \{ x | -2 ＜ x ＜ 3 \}$，$N = \{ x | x ＜ 3 \}$，则（
B
）
A.$M\cap N=\varnothing$
B.$M\cap N = M$
C.$M\cup N = M$
D.$M\cup N=\mathbf{R}$
答案：B
解析：$M$是$N$的子集，所以$M\cap N = M$，$M\cup N = N$。
5.若集合$A = \{1,2,-1\}$，集合$B = \{ y | y = x^2, x\in A \}$，则$A\cup B=$（ ）
A.$\{1\}$
B.$\{1,2,4\}$
C.$\{-1,1,2,4\}$
D.$\{1,4\}$
答案：C
解析：$x\in A$，则$y = 1^2 = 1$，$2^2 = 4$，$(-1)^2 = 1$，所以$B = \{1, 4\}$，$A\cup B = \{-1, 1, 2, 4\}$。
6.若集合$A = \{0,1,2,3\}$，$B = \{-1,0,1\}$，则$A\cap B=$
$\{0,1\}$
。
答案：$\{0,1\}$
解析：$A$与$B$的公共元素为$0,1$，所以$A\cap B = \{0,1\}$。
7.已知$A = \{1,a^2\}$，$B = \{0,2,a\}$，若$A\cup B = \{0,1,2,-3,9\}$，求$a$的值。
答案：解析：$A\cup B$中有元素$-3,9$，所以$a^2=9$，则$a=\pm3$。当$a=3$时，$B=\{0,2,3\}$，$A\cup B=\{0,1,2,3,9\}$，不包含$-3$，不符合题意；当$a=-3$时，$B=\{0,2,-3\}$，$A\cup B=\{0,1,2,-3,9\}$，符合题意。所以$a=-3$。正确答案为$a=-3$。
8.设集合$A = \{1,2,4\}$，$B = \{ x | x^2 - 4x + m = 0 \}$，若$A\cap B = \{1\}$，则$B=$（
C
）
A.$\{1,-3\}$
B.$\{1,0\}$
C.$\{1,3\}$
D.$\{1,5\}$
答案：C
解析：因为$1\in B$，代入方程得$1 - 4 + m = 0$，$m = 3$，方程为$x^2 - 4x + 3 = 0$，解得$x = 1$或$x = 3$，所以$B = \{1, 3\}$。
9.若集合$A = \{ x | x = 2k - 1, k\in\mathbf{Z} \}$，$B = \{-1,0,1,3,6\}$，则$A\cap B$中的元素个数为（
C
）
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：$A$是奇数集，$B$中奇数有$-1,1,3$，所以$A\cap B = \{-1,1,3\}$，元素个数为3。
10.已知集合$M = \{ x | (x - a)(x - 1) = 0 \}$，$N = \{1,4\}$，则$M\cup N$的子集个数可能为（
BC
）
A.2
B.4
C.8
D.16
答案：BC
解析：若$a = 1$，则$M = \{1\}$，$M\cup N = \{1,4\}$，子集个数4；若$a = 4$，则$M = \{1,4\}$，$M\cup N = \{1,4\}$，子集个数4；若$a\neq1,4$，则$M = \{a,1\}$，$M\cup N = \{a,1,4\}$，子集个数8。所以可能为4或8。
11.若集合$A = \{ x|x^{2}=x\}$，集合$B = \{ x|0\lt x\lt2\}$，则集合$A$的子集个数为____，$A\cap B=$____。
答案：1. 首先求集合$A$：对于方程$x^{2}=x$，移项可得$x^{2}-x = 0$，因式分解为$x(x - 1)=0$。根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，解得$x = 0$或$x = 1$，所以$A=\{0,1\}$。2. 然后求集合$A$的子集个数：根据若集合$A$中有$n$个元素，则集合$A$的子集个数为$2^{n}$个。因为$n = 2$（$A=\{0,1\}$，元素个数为$2$），所以集合$A$的子集个数为$2^{2}=4$个，$A$的子集为$\varnothing$，$\{0\}$，$\{1\}$，$\{0,1\}$。3. 最后求$A\cap B$：已知$B=\{x|0\lt x\lt2\}$，$A = \{0,1\}$。根据交集的定义$A\cap B=\{x|x\in A且x\in B\}$。所以$A\cap B=\{1\}$。故答案依次为：$4$；$\{1\}$。
12.已知集合$A = \{ 4,a^{2}+4a + 2\}$，$B=\{ - 2,7,2 - a\}$。
(1)若$A\cap B=\{ 7\}$，求$A\cup B$；
(2)若$A\subseteq B$，求$A\cap B$。
答案：1. （1）因为$A\cap B = \{7\}$，所以$7\in A$。则$a^{2}+4a + 2 = 7$，即$a^{2}+4a - 5 = 0$。因式分解得$(a + 5)(a - 1)=0$，解得$a=-5$或$a = 1$。当$a=-5$时，$2 - a=2-(-5)=7$，此时$B=\{-2,7,7\}$，不满足集合中元素的互异性，舍去。当$a = 1$时，$A=\{4,7\}$，$B=\{-2,7,1\}$。所以$A\cup B=\{-2,1,4,7\}$。2. （2）因为$A\subseteq B$，所以$2 - a = 4$，解得$a=-2$。此时$A=\{4,2\}$，$B=\{-2,7,4\}$。所以$A\cap B = \{4\}$。综上，（1）$A\cup B=\{-2,1,4,7\}$；（2）$A\cap B = \{4\}$。
13.已知集合$A = \{ x|-1\leq x\leq4\}$，$B = \{ x|m - 3\leq x\leq2m + 1\}$。
(1)当$m = 1$时，求$A\cap B$；
(2)若$A\cup B = B$，求实数$m$的取值范围。
答案：1. （1）当$m = 1$时：先求集合$B$，将$m = 1$代入$B=\{x|m - 3\leq x\leq2m + 1\}$，得$B=\{x|1 - 3\leq x\leq2×1+1\}$，即$B=\{x|-2\leq x\leq3\}$。已知$A=\{x|-1\leq x\leq4\}$，根据交集的定义$A\cap B=\{x|x\in A且x\in B\}$。所以$A\cap B=\{x|-1\leq x\leq3\}$。2. （2）解：因为$A\cup B = B$，根据集合的性质可知$A\subseteq B$。又因为$A=\{x|-1\leq x\leq4\}$，$B=\{x|m - 3\leq x\leq2m + 1\}$，所以$\begin{cases}m - 3\leq-1\\2m+1\geq4\end{cases}$。解不等式$m - 3\leq-1$：移项可得$m\leq-1 + 3$，即$m\leq2$。解不等式$2m+1\geq4$：移项得$2m\geq4 - 1$，即$2m\geq3$，两边同时除以$2$，$m\geq\frac{3}{2}$。综上，（1）$A\cap B=\{x|-1\leq x\leq3\}$；（2）实数$m$的取值范围是$\frac{3}{2}\leq m\leq2$。
