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2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版
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1. 已知$a ＜ b ＜ 0$，下列不等式中成立的是（
A
）
A. $a ＜ 4 - b$
B. $\frac{a}{b}＜1$
C. $a^{2}＜b^{2}$
D. $\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$
答案：A
解析：$a ＜ b ＜ 0$，$-b ＞ 0$，$4 - b ＞ 4$，$a ＜ 0 ＜ 4 - b$，A正确；$\frac{a}{b}＞1$（负数相除为正且$|a|＞|b|$），B错误；$a^{2}＞b^{2}$，C错误；$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$，D错误
2. 若$a ＞ b ＞ c$，且$a + b + c=0$，则下列不等式中成立的是（
A
）
A. $ab ＞ ac$
B. $ac ＞ bc$
C. $a|b|＞c|b|$
D. $a^{2}＞b^{2}＞c^{2}$
答案：A
解析：$a + b + c=0$，$a ＞ b ＞ c$，则$a ＞ 0$，$c ＜ 0$。$ab - ac=a(b - c)＞0$（$a ＞ 0$，$b - c ＞ 0$），A正确；$ac - bc=c(a - b)＜0$，B错误；$b = 0$时$a|b|=c|b|$，C错误；$a = 1$，$b = 0$，$c=-1$时$a^{2}=c^{2}$，D错误
3. 若$x ＞ y$，$a ＞ b$，则恒成立的不等式是（
D
）
A. $a - x ＞ b - y$
B. $a + y ＞ b + x$
C. $ax ＞ by$
D. $x - 2b ＞ y - 2a$
答案：D
解析：$a ＞ b$则$-2b ＞ -2a$，$x ＞ y$，相加得$x - 2b ＞ y - 2a$，D正确；A选项$x = 3$，$y = 1$，$a = 2$，$b = 1$时$a - x=-1 ＜ b - y=0$；B选项$x = 3$，$y = 1$，$a = 2$，$b = 1$时$a + y=3 ＜ b + x=4$；C选项$x = 1$，$y=-1$，$a=-1$，$b=-2$时$ax=-1 ＜ by=2$，故D正确
4. 若$-1\leq a\leq3$，$1\leq b\leq2$，则$a + b$的范围为
$[0,5]$
，$a - b$的范围为
$[-3,2]$
.
答案：$[0,5]$，$[-3,2]$
解析：$a + b$：$-1 + 1\leq a + b\leq3 + 2$即$[0,5]$；$a - b$：$-2\leq -b\leq -1$，$-1-2\leq a - b\leq3-1$即$[-3,2]$
5. 已知$-1 ＜ a ＜ b ＜ 0$，求证：$\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}＜b^{2}＜a^{2}$.
答案：证明：$-1 ＜ a ＜ b ＜ 0$，则$ab ＞ 0$，$a - b ＜ 0$，$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a - b}{ab}＜0$，故$\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}$；$a^{2}-b^{2}=(a - b)(a + b)＞0$（$a - b ＜ 0$，$a + b ＜ 0$），故$b^{2}＜a^{2}$；$\frac{1}{a}-b^{2}=\frac{1 - ab^{2}}{a}$，$ab^{2}＜1$（$|a|＜1$，$|b|＜1$），$1 - ab^{2}＞0$，$a ＜ 0$，故$\frac{1}{a}-b^{2}＜0$，即$\frac{1}{a}＜b^{2}$，综上$\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}＜b^{2}＜a^{2}$
6. 若实数$a$，$b$，$c$满足$c ＜ b ＜ a$，且$ac ＜ 0$，则下列结论中不一定成立的是（
D
）
A. $ab ＞ ac$
B. $c(b - a)＞0$
C. $ac(a - c)＜0$
D. $cb^{2}＜ab^{2}$
答案：D
解析：$ac ＜ 0$，$c ＜ a$，则$a ＞ 0$，$c ＜ 0$。A选项$ab - ac=a(b - c)＞0$；B选项$b - a ＜ 0$，$c ＜ 0$，$c(b - a)＞0$；C选项$a - c ＞ 0$，$ac ＜ 0$，$ac(a - c)＜0$；D选项$b = 0$时$cb^{2}=ab^{2}$，故不一定成立，选D
7. 若$a$，$b$，$c\in\mathbf{R}$，$a ＞ b$，则下列不等式成立的是（
C
）
A. $\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$
B. $a^{2}＞b^{2}$
C. $\frac{a}{c^{2}+1}＞\frac{b}{c^{2}+1}$
D. $a|c|＞b|c|$
答案：C
解析：$c^{2}+1＞0$，$a ＞ b$，则$\frac{a}{c^{2}+1}＞\frac{b}{c^{2}+1}$，C正确；A选项$a = 1$，$b=-1$时不成立；B选项$a = 1$，$b=-2$时不成立；D选项$c = 0$时不成立
8. 把下列各题中的“$=$”全部改成“$＜$”，结论仍然成立的是
④
.（填序号）
①如果$a = b$，$c = d$，那么$a - c = b - d$；
②如果$a = b$，$c = d$，那么$ac = bd$；
③如果$a = b$，$c = d$，且$cd\neq0$，那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$；
④如果$a = b$，且$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，那么$a^{3}=b^{3}$.
答案：④
解析：①$a = 3$，$b = 2$，$c = 1$，$d = 0$时$a - c=2$，$b - d=2$，不成立；②$a = 3$，$b = 2$，$c=-1$，$d=-2$时$ac=-3$，$bd=-4$，$ac ＞ bd$，不成立；③$a = 3$，$b = 2$，$c = 1$，$d = 2$时$\frac{a}{c}=3$，$\frac{b}{d}=1$，不成立；④$a ＞ b ＞ 0$时$a^{3}＞b^{3}$，成立，故填④
9. 已知$a$，$b$，$x$，$y$都是正数，且$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$，$x ＞ y$. 求证：$\frac{x}{x + a}＞\frac{y}{y + b}$.
答案：证明：$\frac{x}{x + a}-\frac{y}{y + b}=\frac{bx - ay}{(x + a)(y + b)}$。$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$则$b ＞ a ＞ 0$，$x ＞ y ＞ 0$，$bx ＞ ay$（$b ＞ a$，$x ＞ y$），分母$(x + a)(y + b)＞0$，故$\frac{x}{x + a}＞\frac{y}{y + b}$
