解：

第一步：证明充分性（由$a + b = 1$推出$a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}=0$）

已知$a + b = 1$，即$b = 1 - a$。

将$b = 1 - a$代入$a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}$得：

$\begin{aligned}&a^{3}+(1 - a)^{3}+a(1 - a)-a^{2}-(1 - a)^{2}\\=&a^{3}+(1 - 3a + 3a^{2}-a^{3})+(a - a^{2})-a^{2}-(1 - 2a + a^{2})\\=&a^{3}+1 - 3a + 3a^{2}-a^{3}+a - a^{2}-a^{2}-1 + 2a - a^{2}\\=&(a^{3}-a^{3})+(3a^{2}-a^{2}-a^{2}-a^{2})+(-3a + a + 2a)+(1 - 1)\\=&0\end{aligned}$

第二步：证明必要性（由$a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}=0$推出$a + b = 1$）

对$a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}$进行因式分解：

根据立方和公式$x^3 + y^3=(x + y)(x^2-xy + y^2)$，则$a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})-(a^{2}-ab + b^{2})=(a^{2}-ab + b^{2})(a + b - 1)$。

因为$ab\neq0$，$a^{2}-ab + b^{2}=(a-\frac{b}{2})^{2}+\frac{3b^{2}}{4}\gt0$（任何数的平方大于等于$0$，又$ab\neq0$，所以$(a-\frac{b}{2})^{2}+\frac{3b^{2}}{4}\gt0$）。

又因为$a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}=0$，即$(a^{2}-ab + b^{2})(a + b - 1)=0$，而$a^{2}-ab + b^{2}\gt0$，所以$a + b - 1 = 0$，即$a + b = 1$。

综上，“$a + b = 1$”是“$a^{3}+b^{3}+ab - a^{2}-b^{2}=0$”的充要条件。