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2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版
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【过程评价】4.用描述法表示下列集合：
(1)绝对值小于1000的偶数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中x轴上的点组成的集合.
答案：(1)$\{x| |x| ＜ 1000,x = 2k,k\in\mathbb{Z}\}$；(2)$\{(x,y)|y = 0,x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$
解析：(1)绝对值小于1000即|x| ＜ 1000，偶数可表示为x=2k,k∈Z，所以集合为$\{x| |x| ＜ 1000,x = 2k,k\in\mathbb{Z}\}$。
(2)x轴上的点纵坐标为0，所以集合为$\{(x,y)|y = 0,x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$。
【例3】(1)若集合A中没有元素，求a的取值范围；
(2)若集合A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来.
答案：(1)$a ＞ \frac{9}{8}$；(2)a=0时元素为$\frac{2}{3}$；$a = \frac{9}{8}$时元素为$\frac{4}{3}$
解析：集合A是方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$的实数根组成的集合。
(1)A中没有元素，即方程无实根。当a=0时，方程为-3x + 2=0，有实根，舍去；当a≠0时，$\Delta=9 - 8a ＜ 0$，解得$a ＞ \frac{9}{8}$。
(2)A中只有一个元素，即方程有唯一实根。当a=0时，方程为-3x + 2=0，根为$x = \frac{2}{3}$；当a≠0时，$\Delta=9 - 8a=0$，$a = \frac{9}{8}$，根为$x = \frac{3}{2a}=\frac{4}{3}$。
【过程评价】5.已知集合A中含有两个元素，其中一个元素是1，求a的值
2
，并求出集合A
{1,2}
.
答案：a=2，集合A={1,2}
解析：因为1∈A，所以将x=1代入方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$得$a - 3 + 2=0$，a=1，此时方程为$x^2 - 3x + 2=0$，根为1和2，集合A={1,2}（原题目可能为“已知集合A中有两个元素，其中一个是1”，按此解法）。
6.已知集合$A = \{x|ax^2 + x = 0\}$有两个元素，求a的取值范围
a≠0
，并把这两个元素写出来
0和$-\frac{1}{a}$
.
答案：a≠0，元素为0和$-\frac{1}{a}$
解析：集合A有两个元素，即方程$ax^2 + x = 0$有两个不等实根。a=0时，方程为x=0，只有一个元素，舍去；a≠0时，方程$x(ax + 1)=0$，根为0和$-\frac{1}{a}$，所以a≠0，元素为0和$-\frac{1}{a}$。
7.已知集合$A = \{x|x^2 + (a - 1)x + b = 0\}$，$B = \{x|x^2 - (3 - a)x - a + b - 2 = 0\}$，若A={2}，求集合B.
答案：{1,5}
解析：因为集合A={2}，所以方程$x^2 + (a - 1)x + b = 0$有唯一实根2，即判别式$\Delta=(a - 1)^2 - 4b=0$，且$2^2 + 2(a - 1) + b=0$。
联立方程：
1. $(a - 1)^2 - 4b=0$
2. $4 + 2a - 2 + b=0$，即$2a + b + 2=0$，解得$b=-2a - 2$
将$b=-2a - 2$代入①：$(a - 1)^2 - 4(-2a - 2)=0$，即$a^2 - 2a + 1 + 8a + 8=0$，$a^2 + 6a + 9=0$，$(a + 3)^2=0$，解得$a=-3$，则$b=-2×(-3)-2=4$。
将$a=-3$，$b=4$代入集合B的方程：$x^2 - (3 - (-3))x - (-3) + 4 - 2=x^2 - 6x + 5=0$，即$(x - 1)(x - 5)=0$，解得$x=1$或$x=5$，所以集合B={1,5}。
