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2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版
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【例1】下列各题中，$ p $是$ q $的什么条件？（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”回答）
(1)$ p:x = 1 $，$ q:x - 1 = \sqrt{x - 1} $；
(2)$ p:m ＞ 0 $，$ q:$关于$ x $的方程$ x^2 + x - m = 0 $有实根；
(3)$ p:x \geq 2 $，$ q:x ＞ 3 $；
(4)$ p:$四边形的对角线相等，$ q:$四边形是平行四边形。
答案：(1)充分不必要条件
(2)充分不必要条件
(3)必要不充分条件
(4)既不充分也不必要条件
解析：
(1)$ q $：$ x - 1 = \sqrt{x - 1} \Rightarrow x = 1 $或$ x = 2 $，$ p \Rightarrow q $，$ q \nRightarrow p $。
(2)$ q $：$\Delta = 1 + 4m \geq 0 \Rightarrow m \geq -\frac{1}{4}$，$ p \Rightarrow q $，$ q \nRightarrow p $。
(3)$ q \Rightarrow p $，$ p \nRightarrow q $。
(4)对角线相等的四边形不一定是平行四边形，平行四边形对角线不一定相等。
【过程评价】
1.若集合$ A $为数集，则“$ A\cap \{0,1\} = \{0\} $”是“$ A = \{0\} $”的
必要不充分
条件。
答案：必要不充分
解析：$ A\cap \{0,1\} = \{0\} \Rightarrow A $可能为$\{0,2\}$等，$ A = \{0\} \Rightarrow A\cap \{0,1\} = \{0\} $。
2.下列各题中，$ p $是$ q $的什么条件？（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”回答）
(1)已知$ a\in \mathbf{R} $，$ p:a ＜ 1 $，$ q:\frac{1}{a} ＞ 1 $；
(2)设$ x\in \mathbf{R} $，$ p:x ＞ 0 $，$ q:x ＞ 0 $或$ x ＜ -1 $。
答案：(1)必要不充分条件
(2)充分不必要条件
解析：
(1)$ q: \frac{1}{a} > 1 \Rightarrow 0 < a < 1 $，$ q \Rightarrow p $，$ p \nRightarrow q $，故$ p $是$ q $的必要不充分条件。
(2)$ p \Rightarrow q $，$ q \nRightarrow p $。
