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2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版
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【例1】(1)下列语句不是存在量词命题的是（
A
）
A.所有无理数的平方都是有理数
B.有的无理数的平方不是有理数
C.存在$ n\in\mathbf{N},2n - 1 $是奇数
D.存在$ n\in\mathbf{N},2n + 1 $是偶数
答案：A
解析：存在量词命题是含有存在量词的命题，选项B、C、D中分别有“有的”“存在”“存在”，均为存在量词命题；选项A中“所有”是全称量词，为全称量词命题，不是存在量词命题。
【例1】(2)将下列命题用“$\forall$”或“$\exists$”表示.
①实数的平方是非负数；
②关于$ x $的方程$ ax^{2}+2x + 1 = 0(a ＜ 1) $至少存在一个负根.
答案：①$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}\geq0$
②$\exists x ＜ 0$，使得$ ax^{2}+2x + 1 = 0(a ＜ 1) $
【过程评价】1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次函数都与$ x $轴相交；
(4)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，那么它也与另一条相交.
答案：(1)全称量词命题
(2)存在量词命题
(3)全称量词命题
(4)全称量词命题
【例2】判断下列命题的真假.
(1)$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}-x + 1＞\frac{1}{2}$；
(2)$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+1 ＜ 2x$；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(4)存在一个实数$ x $，使等式$ x^{2}+x + 8 = 0 $成立.
答案：(1)真命题
解析：$x^{2}-x + 1=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}＞\frac{1}{2}$，所以对$\forall x\in\mathbf{R}$，该不等式恒成立。
(2)假命题
解析：$x^{2}+1 - 2x=(x - 1)^{2}\geq0$，即$x^{2}+1\geq2x$恒成立，不存在$x\in\mathbf{R}$使$x^{2}+1 ＜ 2x$。
(3)假命题
解析：例如边长为1的正方形的对角线长为$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$不是正有理数，所以不是每一条线段的长度都能用正有理数表示。
(4)假命题
解析：方程$x^{2}+x + 8 = 0$的判别式$\Delta=1 - 32=-31 ＜ 0$，无实数根，所以不存在实数$x$使等式成立。
【过程评价】2.变式练 将本例第(1)小题改为“$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}-x + 1\leq\frac{1}{2}$”，对其判断真假.
答案：假命题
解析：由(1)知$x^{2}-x + 1\geq\frac{3}{4}＞\frac{1}{2}$恒成立，所以不存在$x\in\mathbf{R}$使$x^{2}-x + 1\leq\frac{1}{2}$。
【过程评价】3.同类练 下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（
B
）
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数$ x $，使$ x^{2}\leq0$
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数$ x $，使$\frac{1}{x}＞2$
答案：B
解析：选项A是全称量词命题；选项B是存在量词命题，当$x = 0$时，$x^{2}=0$，所以是真命题；选项C是全称量词命题，例如$\sqrt{2}+(-\sqrt{2}) = 0$是有理数，所以是假命题；选项D是存在量词命题，负数$x$的倒数是负数，不可能大于2，所以是假命题。
