答案：1. 首先求解集合$A$：
对于集合$A=\{x|x + 1\leq0$或$x−4\gt0\}$，解不等式$x + 1\leq0$，得$x\leq - 1$；解不等式$x−4\gt0$，得$x\gt4$。所以$A=\{x|x\leq - 1$或$x\gt4\}$。
2. 然后根据$B\subseteq A$分情况讨论：
情况一：当$B = \varnothing$时，满足$B\subseteq A$。
对于集合$B=\{x|2a\leq x\leq a + 2\}$，若$B=\varnothing$，则$2a\gt a + 2$，解这个不等式：
移项可得$2a−a\gt2$，即$a\gt2$。
情况二：当$B\neq\varnothing$时，即$2a\leq a + 2$，$a\leq2$。
因为$B\subseteq A$，所以$a + 2\leq - 1$或$2a\gt4$。
解$a + 2\leq - 1$：
移项得$a\leq - 1-2$，即$a\leq - 3$。
解$2a\gt4$（此时$a\leq2$不满足，舍去）。
3. 最后求$a$的取值范围：
综合以上两种情况，取并集。
当$a\gt2$或$a\leq - 3$时满足条件。
所以实数$a$的取值范围是$\{a|a\leq - 3$或$a\gt2\}$。
