2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版
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1.若集合M={x|x=4n+1,n∈Z}，N={x|x=2n+1,n∈Z}，则（
A
）
A.M⫋N
B.N⫋M
C.M∈N
D.N∈M
答案：A
解析：M是4的倍数加1，N是奇数集，M中的元素都是N中的元素，且N中有元素不属于M，如3∈N但3∉M，所以M⫋N，故选A.
2.已知集合$A = \{ - 1,0,1\}$，$B=\{x|x ＞ a\}$，
若$A\subseteq B$，则实数$a$的取值可以为（ ）
A.$-2$ B.$-1$ C.$1$ D.$2$
答案：1. 首先明确子集的定义：若$A\subseteq B$，则集合$A$中的所有元素都属于集合$B$。已知$A =\{ - 1,0,1\}$，$B=\{x|x\gt a\}$。2. 然后分析集合$A$中元素与集合$B$的关系：因为$A\subseteq B$，所以$A$中的最小元素$-1$也满足$-1\gt a$。3. 接着逐一分析选项：选项A：当$a=-2$时，$-1\gt - 2$，满足$A\subseteq B$；选项B：当$a = - 1$时，$-1\gt - 1$不成立（$-1=-1$），不满足$A\subseteq B$；选项C：当$a = 1$时，$-1\gt1$不成立，不满足$A\subseteq B$；选项D：当$a = 2$时，$-1\gt2$不成立，不满足$A\subseteq B$。综上，答案是A。
3.若集合P={y|y=x²+1}，M={x|y=x²+1}，则集合M与集合P的关系是（
D
）
A.M=P
B.P∈M
C.M⫋P
D.P⫋M
答案：1. 首先分析集合$P$：对于集合$P = \{ y|y = x^{2}+1\}$，因为$x^{2}\geqslant0$，所以$y=x^{2}+1\geqslant1$，即$P=\{ y|y\geqslant1\}$。2. 然后分析集合$M$：对于集合$M = \{ x|y = x^{2}+1\}$，$x$可以取任意实数，所以$M = R$。3. 最后判断集合关系：因为$P=\{ y|y\geqslant1\}$，$M = R$，所以$P\subsetneqq M$。答案是D。
4.若∅⫋{x|x²-x+a=0}，则实数a的取值范围是（
A
）
A.a＜$\frac{1}{4}$
B.a≤$\frac{1}{4}$
C.a≥$\frac{1}{4}$
D.a＞$\frac{1}{4}$
答案：A
解析：∅是真子集，集合非空，方程有实根，Δ=1-4a＞0，a＜$\frac{1}{4}$，故选A.
5.集合$M = \{ x\in N|-2\leq x\leq0\}$的子集的个数为____.
答案：1. 首先确定集合$M$的元素：已知集合$M = \{x\in N|-2\leq x\leq0\}$，因为$x\in N$（$N$表示自然数集），满足$-2\leq x\leq0$的自然数只有$x = 0$，所以$M=\{0\}$。2. 然后根据子集个数公式计算：对于含有$n$个元素的集合$A$，其子集个数为$2^{n}$个。集合$M$中$n = 1$（集合$M$只有$1$个元素$0$）。根据公式$2^{n}$，当$n = 1$时，子集个数$2^{1}=2$。故集合$M$的子集个数为$2$。
6.已知集合A={x|x＜2,x∈N}，B={x|-2＜x＜2,且x∈Z}.
(1)写出集合A的子集；
(2)写出集合B的真子集.
答案：(1)∅,{0},{1},{0,1}
(2)∅,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1}
7.设A={x|2≤x≤4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（
A
）
A.1≤a≤3
B.a＞3或a=1
C.a≤1
D.a＞3
答案：A
解析：B=∅时2a＞a+3，a＞3；B≠∅时$\begin{cases}2a≥2\\a+3≤4\end{cases}$，解得1≤a≤1，综上1≤a≤3，故选A.
8.已知集合A={1,2}，B={0,1,2,3,4}，集合C满足A⊆C⊆B，则（ ）
A.1∈C,2∈C
B.集合C可以为{1,2}
C.集合C的个数为7
D.集合C的个数为8
答案：ABD
解析：C中必须含1,2，从B中剩余3个元素（0,3,4）选0-3个，子集个数2³=8，C可以为{1,2}，1,2一定属于C，故选ABD.
9.若x∈A，则$\frac{1}{x}$∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={-1,0,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$,1,2,3,4}的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数为（
A
）
A.15
B.16
C.2⁸
D.2⁵
答案：A
解析：伙伴关系元素组：{-1}，{1}，{$\frac{1}{2}$,2}，{$\frac{1}{3}$,3}，0不是伙伴元素，共4组，非空子集个数2⁴-1=15，故选A.
10.设集合$A = \{ x,y\}$，$B = \{ 0,x^{2}\}$，若$A = B$，
则$x=$____，$y=$____.
答案：1. 首先，根据集合相等的性质：
因为$A = \{x,y\}$，$B=\{0,x^{2}\}$，且$A = B$，所以$\begin{cases}x = 0\\y=x^{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=x^{2}\\y = 0\end{cases}$。
2. 然后，分析$\begin{cases}x = 0\\y=x^{2}\end{cases}$这种情况：
当$x = 0$时，$x^{2}=0$，根据集合中元素的互异性（集合中的元素具有互异性，即集合中的元素都不相同），集合$B=\{0,0\}$不满足集合中元素的互异性，所以这种情况舍去。
3. 接着，分析$\begin{cases}x=x^{2}\\y = 0\end{cases}$这种情况：
解方程$x=x^{2}$，移项可得$x^{2}-x = 0$，提取公因式$x$得$x(x - 1)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，则$x = 0$或$x = 1$。
又因为$x\neq0$（前面已分析$x = 0$不符合集合元素互异性），所以$x = 1$。
当$x = 1$，$y = 0$时，$A=\{1,0\}$，$B=\{0,1\}$，满足$A = B$。
所以$x = 1$，$y = 0$。
11.若集合A={x|x=$\frac{1}{9}$(2k+1),k∈Z}，B={x|x=$\frac{4}{9}$k±$\frac{1}{9}$,k∈Z}，则集合A,B之间的关系为
A=B
.
答案：A=B
解析：A中x=$\frac{2k+1}{9}$，k∈Z；B中x=$\frac{4k±1}{9}$，4k±1与2k+1都表示奇数，所以A=B.
12.已知A={x|-2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a-1}.
(1)若A⊇B，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a使得A=B？若存在求出a的值；若不存在，说明理由.
答案：(1)(-∞,3]
解析：B=∅时a+1＞2a-1，a＜2；B≠∅时$\begin{cases}a+1≥-2\\2a-1≤5\\a+1≤2a-1\end{cases}$，解得2≤a≤3，综上a≤3.
(2)不存在
解析：若A=B，则$\begin{cases}a+1=-2\\2a-1=5\end{cases}$，无解，故不存在.
