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    2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版

    2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版

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    【例1】(1)若正数$a,b$满足$3a + 4b=ab$，则$a + b$的最小值为（
    C
    ）
    A.$6 + 2\sqrt{3}$
    B.$7 + 2\sqrt{3}$
    C.$7 + 4\sqrt{3}$
    D.$7 - 4\sqrt{3}$
    答案：C
    解析：由$3a + 4b=ab$得$\frac{3}{b}+\frac{4}{a}=1$，则$a + b=(a + b)\left(\frac{4}{a}+\frac{3}{b}\right)=7+\frac{4b}{a}+\frac{3a}{b}\geq7 + 2\sqrt{\frac{4b}{a}\cdot\frac{3a}{b}}=7 + 4\sqrt{3}$，当且仅当$\frac{4b}{a}=\frac{3a}{b}$时等号成立，选C。
    (2)多选题下列命题中正确的是（
    CD
    ）
    A.任意非零实数$a,b$，都有$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2$
    B.当$x＞1$时，$x+\frac{1}{x - 1}$的最小值是2
    C.当$0＜x＜10$时，$\sqrt{x(10 - x)}$的最大值是5
    D.若正数$x,y$满足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=3$，则$2x + y$的最小值为3
    答案：CD
    解析：A.当$a,b$异号时，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\leq - 2$，不成立；
    B.$x+\frac{1}{x - 1}=x - 1+\frac{1}{x - 1}+1\geq2\sqrt{(x - 1)\cdot\frac{1}{x - 1}}+1=3$，最小值是3，不成立；
    C.$\sqrt{x(10 - x)}\leq\frac{x + 10 - x}{2}=5$，当且仅当$x = 10 - x$，即$x = 5$时等号成立，成立；
    D.$2x + y=\frac{1}{3}(2x + y)\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(5+\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}\right)\geq\frac{1}{3}\left(5 + 2\sqrt{\frac{2x}{y}\cdot\frac{2y}{x}}\right)=3$，当且仅当$\frac{2x}{y}=\frac{2y}{x}$，即$x = y = 1$时等号成立，成立，选CD。
    【例2】若当$x＞1$时，不等式$x+\frac{1}{x - 1}\geq a$恒成立，则实数$a$的最大值为
    3
    。
    答案：3
    解析：$x+\frac{1}{x - 1}=x - 1+\frac{1}{x - 1}+1\geq2\sqrt{(x - 1)\cdot\frac{1}{x - 1}}+1=3$，当且仅当$x - 1=\frac{1}{x - 1}$，即$x = 2$时等号成立，所以$a\leq3$，$a$的最大值为3。
    1.若$0＜x＜\frac{1}{4}$，则$x(1 - 4x)$取最大值时$x$的值是（
    C
    ）
    A.$\frac{1}{4}$
    B.$\frac{1}{6}$
    C.$\frac{1}{8}$
    D.$\frac{1}{10}$
    答案：C
    解析：$x(1 - 4x)=\frac{1}{4}×4x(1 - 4x)\leq\frac{1}{4}×\left(\frac{4x + 1 - 4x}{2}\right)^{2}=\frac{1}{16}$，当且仅当$4x=1 - 4x$，即$x=\frac{1}{8}$时等号成立，选C。
    2.若对任意的正数$a,b$，满足$a + 3b - 1=0$，则$\frac{3}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为
    12
    。
    答案：12
    解析：由$a + 3b=1$得$\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=(a + 3b)\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}\right)=6+\frac{9b}{a}+\frac{a}{b}\geq6 + 2\sqrt{\frac{9b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=12$，当且仅当$\frac{9b}{a}=\frac{a}{b}$，即$a = 3b=\frac{1}{2}$时等号成立，最小值为12。
    3.若两个正数$x,y$满足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，并且$x + 2y＞2m - 1$恒成立，则实数$m$的取值范围是
    $(-\infty,\frac 92)$
    。
    答案：$(-\infty,\frac 92)$
    解析：$x + 2y=(x + 2y)\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)=4+\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}\geq4 + 2\sqrt{\frac{4y}{x}\cdot\frac{x}{y}}=8$，当且仅当$\frac{4y}{x}=\frac{x}{y}$，即$x = 2y = 4$时等号成立，因为$x + 2y＞2m - 1$恒成立，所以$8＞2m - 1$，解得$m＜\frac{9}{2}$，即$m\in(-\infty,\frac{9}{2})$，
    【例3】某单位用木料制作的框架
    示意图如图所示，框架的下部是边
    长分别为$x$，$y$（单位：m）的矩形，$y$
    上部是等腰直角三角形.要求框架
    围成的总面积为$8m^{2}$，则$x$，$y$分别为多少时
    用料最省？

    答案：
    1. 首先，根据面积公式列出方程：
    已知框架下部是矩形（面积为$xy$），上部是等腰直角三角形（面积为$\frac{1}{2}x\cdot\frac{x}{2}=\frac{x^{2}}{4}$），且总面积$S = xy+\frac{x^{2}}{4}=8$。
    由此可得$y=\frac{8 - \frac{x^{2}}{4}}{x}=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}(0\lt x\lt4\sqrt{2})$。
    2. 然后，计算框架用料总长度$L$的表达式：
    框架用料总长度$L = 2x + 2y+2×\frac{\sqrt{2}x}{2}$。
    将$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$代入上式得：
    $L = 2x + 2(\frac{8}{x}-\frac{x}{4})+\sqrt{2}x$。
    展开式子：$L=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}$。
    3. 接着，利用基本不等式求$L$的最小值：
    根据基本不等式$a + b\geq2\sqrt{ab}$（$a\gt0,b\gt0$，当且仅当$a = b$时等号成立），对于$L=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}$，这里$a=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x$，$b = \frac{16}{x}$。
    则$L=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}\geq2\sqrt{( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x\cdot\frac{16}{x}}$。
    先计算$2\sqrt{( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x\cdot\frac{16}{x}}$：
    $2\sqrt{16(\frac{3}{2}+\sqrt{2})}=2×4\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}}=8\sqrt{\frac{(\sqrt{2}+1)^{2}}{2}}=8(\sqrt{2}+1)$。
    当且仅当$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})x=\frac{16}{x}$时取等号。
    解方程$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})x=\frac{16}{x}$：
    即$x^{2}=\frac{16}{\frac{3}{2}+\sqrt{2}}=\frac{16( \frac{3}{2}-\sqrt{2})}{(\frac{3}{2}+\sqrt{2})(\frac{3}{2}-\sqrt{2})}$。
    因为$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，所以$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})(\frac{3}{2}-\sqrt{2})=\frac{9}{4}-2=\frac{1}{4}$。
    则$x^{2}=16×2( \frac{3}{2}-\sqrt{2}) = 16(3 - 2\sqrt{2})=(4\sqrt{2}-4)^{2}$，又$x\gt0$，所以$x = 4\sqrt{2}-4$。
    当$x = 4\sqrt{2}-4$时，$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$，把$x = 4\sqrt{2}-4$代入$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$：
    $y=\frac{8}{4\sqrt{2}-4}-\frac{4\sqrt{2}-4}{4}$。
    对$\frac{8}{4\sqrt{2}-4}$分母有理化，$\frac{8}{4\sqrt{2}-4}=\frac{8(4\sqrt{2}+4)}{(4\sqrt{2}-4)(4\sqrt{2}+4)}=\frac{8(4\sqrt{2}+4)}{32 - 16}=\frac{8(4\sqrt{2}+4)}{16}=2\sqrt{2}+2$，$\frac{4\sqrt{2}-4}{4}=\sqrt{2}-1$。
    所以$y = 2\sqrt{2}+2-(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}+3$。
    解：设框架用料总长度为$L$。
    由$xy+\frac{1}{2}x\cdot\frac{x}{2}=8$，得$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}(0\lt x\lt4\sqrt{2})$。
    $L = 2x + 2y+\sqrt{2}x=2x + 2(\frac{8}{x}-\frac{x}{4})+\sqrt{2}x=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}$。
    根据基本不等式$a + b\geq2\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)$，这里$a=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x$，$b=\frac{16}{x}$，则$L=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}\geq2\sqrt{( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x\cdot\frac{16}{x}}$。
    因为$2\sqrt{( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x\cdot\frac{16}{x}}=8(\sqrt{2}+1)$，当且仅当$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})x=\frac{16}{x}$时取等号。
    解方程$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})x=\frac{16}{x}$得$x = 4\sqrt{2}-4$。
    把$x = 4\sqrt{2}-4$代入$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$得$y=\sqrt{2}+3$。
    所以当$x=(4\sqrt{2}-4)m$，$y = (\sqrt{2}+3)m$时，用料最省。