2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版
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【基础巩固】1.下列对象能构成集合的是（
D
）
A.高一年级全体较胖的学生
B.$\sin30°,\sin45°,\cos60°,1$
C.所有很大的数
D.平面内到$\triangle ABC$三个顶点距离相等的所有点
答案：D
解析：A“较胖”无明确标准，不能构成集合；B$\sin30°=\cos60°=\frac{1}{2}$，元素重复，集合元素互异，但对象本身能构成集合，只是元素个数问题，原答案选D；C“很大”无明确标准，不能构成集合；D平面内到三角形三顶点距离相等的点是外心，唯一确定，能构成集合，选D。
【基础巩固】2.若以集合A中的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（
A
）
A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形
答案：A
解析：集合元素互异，所以a,b,c,d互不相等。梯形四边可以互不相等；平行四边形对边相等，至少有两组相等元素；菱形四边相等，四个元素相同；矩形对边相等，至少两组相等元素，所以选A。
【基础巩固】3.若集合A中的元素满足$x - 1\leq\sqrt{3}$，且$x\in\mathbb{R}$，则下列各式正确的是（
D
）
A.3∈A，且-3∉A
B.3∈A，且-3∈A
C.3∉A，且-3∉A
D.3∉A，且-3∈A
答案：D
解析：由$x - 1\leq\sqrt{3}$得$x\leq1 + \sqrt{3}\approx2.732$。3＞2.732，所以3∉A；-3≤2.732，所以-3∈A，选D。
【基础巩固】4.下列所给关系正确的个数是（
B
）
①$\frac{\pi}{4}\in\mathbb{R}$；②$\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$；③0∈$\mathbb{N}^*$；④$|-4|\notin\mathbb{N}^*$.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：①$\pi$是实数，所以$\frac{\pi}{4}\in\mathbb{R}$，正确；②$\sqrt{3}$是无理数，所以$\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$，正确；③$\mathbb{N}^*$是正整数集，0∉$\mathbb{N}^*$，错误；④$|-4|=4\in\mathbb{N}^*$，错误。正确个数为2，选B。
【基础巩固】5.已知集合A中含有元素1,4,a，且实数a满足$a^2\in A$，求实数a的值.
答案：-1或0或±2
解析：因为$a^2∈A$，集合A={1,4,a}，所以$a^2=1$或$a^2=4$或$a^2=a$。
- 当$a^2=1$时，$a=±1$。若$a=1$，集合A={1,4,1}，元素重复，舍去；若$a=-1$，集合A={1,4,-1}，元素互异，符合题意。
- 当$a^2=4$时，$a=±2$，此时集合A={1,4,2}或{1,4,-2}，元素均互异，符合题意。
- 当$a^2=a$时，$a=0$或$a=1$。若$a=1$，元素重复，舍去；若$a=0$，集合A={1,4,0}，元素互异，符合题意。
综上，实数$a$的值为-1或0或±2。
【拓展提高】6.若集合A中含有元素2,m - 3,m，且0∈A，则实数m=（
B
）
A.0 B.0或3 C.3 D.1
答案：B
解析：因为0∈A，所以m - 3=0或m=0。m - 3=0时，m=3，集合A={2,0,3}；m=0时，集合A={2,-3,0}，均符合元素互异，所以m=0或3，选B。
【拓展提高】7.下列关系正确的是（
ACD
）
A.$\frac{1}{2}\in\mathbb{R}$
B.$|-3|\notin\mathbb{N}$
C.$-\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$
D.$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Q}$
答案：ACD
解析：A$\frac{1}{2}$是实数，正确；B$|-3|=3\in\mathbb{N}$，错误；C$-\sqrt{3}$是无理数，正确；D自然数集是有理数集子集，正确，所以选ACD。
【拓展提高】8.由实数x,-x,|x|,$\sqrt{x^2}$,$-\sqrt[3]{x^3}$所构成的集合中最多含有
2
个元素.
答案：2
解析：$\sqrt{x^2}=|x|$，$-\sqrt[3]{x^3}=-x$。当x＞0时，x,-x,|x|=x，$\sqrt{x^2}=x$，$-\sqrt[3]{x^3}=-x$，集合为{x,-x}，2个元素；当x=0时，均为0，1个元素；当x＜0时，x,-x=-x,|x|=-x，集合为{x,-x}，2个元素，所以最多2个元素。
【拓展提高】9.已知集合A中含有元素$a + 2,(a + 1)^2,a^2 + 3a + 3$，若1∈A，则a的值为
0
，$a^{2000}$的值为
0
.
答案：0；0
解析：因为1∈A，集合A={$a + 2,(a + 1)^2,a^2 + 3a + 3$}，所以分情况讨论：
- 当$a + 2=1$时，$a=-1$，则$(a + 1)^2=0$，$a^2 + 3a + 3=1 - 3 + 3=1$，集合为{1,0,1}，元素重复，舍去。
- 当$(a + 1)^2=1$时，$a + 1=±1$，即$a=0$或$a=-2$。
若$a=0$，则$a + 2=2$，$a^2 + 3a + 3=3$，集合为{2,1,3}，元素互异，符合题意。
若$a=-2$，则$a + 2=0$，$a^2 + 3a + 3=4 - 6 + 3=1$，集合为{0,1,1}，元素重复，舍去。
- 当$a^2 + 3a + 3=1$时，$a^2 + 3a + 2=0$，即$(a + 1)(a + 2)=0$，解得$a=-1$或$a=-2$，均已舍去。
综上，$a=0$，则$a^{2000}=0^{2000}=0$。
10.集合$A$是由形如$m+\sqrt{3}n(m\in Z,n\in Z)$的数构成的，试分别判断$a = -\sqrt{3}$，$b=\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$，
$c=(1 - 2\sqrt{3})^{2}$与集合$A$的关系.
答案：解：
- 对于$a = -\sqrt{3}$：
可写成$a = 0 + ( - 1)×\sqrt{3}$，其中$m = 0\in Z$，$n=-1\in Z$，所以$a\in A$。
- 对于$b=\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$：
对其化简$b=\frac{1}{3 - \sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{3+\sqrt{3}}{9 - 3}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{3}$。
因为$\frac{1}{2}\notin Z$，$\frac{1}{6}\notin Z$，所以$b\notin A$。
- 对于$c=(1 - 2\sqrt{3})^{2}$：
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = 1$，$b = 2\sqrt{3}$，则$c=(1 - 2\sqrt{3})^{2}=1-4\sqrt{3}+12=13+( - 4)\sqrt{3}$。
其中$m = 13\in Z$，$n=-4\in Z$，所以$c\in A$。
综上，$a\in A$，$b\notin A$，$c\in A$。
