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2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版
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【例3】(1)若集合$ A = \{x|a - 2 ＜ x ＜ a + 2\} $，$ B = \{x|x \leq -2 $，或$ x \geq 4\} $，则$ A\cap B = \varnothing $的充要条件是（
A
）
A.$ 0 \leq a \leq 2 $
B.$ -2 ＜ a ＜ 2 $
C.$ 0 ＜ a \leq 2 $
D.$ 0 ＜ a ＜ 2 $
答案：A
解析：$ A\cap B = \varnothing \Rightarrow \begin{cases}a - 2 \geq -2 \\ a + 2 \leq 4\end{cases} \Rightarrow 0 \leq a \leq 2 $。
2.已知$ m\in \mathbf{Z} $，关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 4x + 4m = 0 $和$ x^2 - 4mx + 4m^2 - 4m - 5 = 0 $，求证：上述两个方程的根都是整数的充要条件是$ m = 1 $。
答案：证明：
充分性：$ m = 1 $时，方程1：$ x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 $（整数）；方程2：$ x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 $或$ x = -1 $（整数）。
必要性：方程1有整数根$\Rightarrow \Delta = 16 - 16m \geq 0 \Rightarrow m \leq 1$，且根为$ 2\pm\sqrt{4 - 4m} $为整数$\Rightarrow 4 - 4m$为平方数$\Rightarrow m = 0$或$1$。
$ m = 0 $时方程2：$ x^2 - 5 = 0 $无整数根；$ m = 1 $时方程2有整数根，故$ m = 1 $。
3.(1)“函数$ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $的图象与$ y $轴交于负半轴”的充要条件是
$ c ＜ 0 $
；
(2)关于$ x $的方程$ m^2x^2 - (m + 1)x + 2 = 0 $的所有实数根的和为2的充要条件是
$ m = 0 $或$ m = \frac{1}{2} $
。
答案：(1)$ c < 0 $
(2)$ m = 0 $或$ m = \frac{1}{2} $
解析：
(2)当$ m = 0 $时，方程为$-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2$，所有实数根的和为2；当$ m \neq 0 $时，$\Delta = (m + 1)^2 - 8m^2 \geq 0$且$\frac{m + 1}{m^2} = 2 \Rightarrow m = \frac{1}{2}$（$ m = 1 $时$\Delta < 0$舍去）。综上，充要条件是$ m = 0 $或$ m = \frac{1}{2} $。
1.若$ A,B $是两个集合，则“$ A\cap B = A $”是“$ A\subseteq B $”的（
C
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：C
解析：$ A\cap B = A \Leftrightarrow A\subseteq B $。
2.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：
(1)“关于$ x $的方程$ ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0) $有实数根”是“$ ac ＜ 0 $”的
必要条件
；
(2)“$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$”是“$\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$”的
充分条件
。
答案：(1)必要条件
(2)充分条件
解析：
(1)方程有实根$\Rightarrow \Delta \geq 0 \nRightarrow ac ＜ 0$，$ ac ＜ 0 \Rightarrow \Delta ＞ 0 \Rightarrow$方程有实根。
(2)全等一定相似，相似不一定全等。
