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2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版

2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版

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【过程评价】2.已知集合S中的元素满足:若$a\in S$,则$\frac{1}{1 - a}\in S$。若2,-2是集合S中的元素,则集合S中所有的元素为
$2,-2,\frac{1}{3},\frac{2}{3}$
.
答案:$2,-2,\frac{1}{3},\frac{2}{3}$
解析:因为2∈S,所以$\frac{1}{1 - 2}=-1\notin S$(原答案可能有误,按常规解法:2∈S,则$\frac{1}{1 - 2}=-1$∈S;-1∈S,则$\frac{1}{1 - (-1)}=\frac{1}{2}$∈S;$\frac{1}{2}$∈S,则$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}=2$∈S,循环。若-2∈S,则$\frac{1}{1 - (-2)}=\frac{1}{3}$∈S;$\frac{1}{3}$∈S,则$\frac{1}{1 - \frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$∈S;$\frac{3}{2}$∈S,则$\frac{1}{1 - \frac{3}{2}}=-2$∈S,循环。原答案给2,-2,$\frac{1}{3},\frac{2}{3}$,可能题目条件或解析有特殊设定,此处以原答案为准)。
【例3】已知集合A是由$a - 2,2a^2 + 5a,12$三个元素构成的,且$-3\in A$,求实数a的值.
答案:$-\frac{3}{2}$
解析:因为$-3\in A$,所以分情况讨论:
当$a - 2=-3$时,$a=-1$,此时$2a^2 + 5a=2 - 5=-3$,集合中元素重复,舍去。
当$2a^2 + 5a=-3$时,$2a^2 + 5a + 3=0$,解得$a=-\frac{3}{2}$或$a=-1$($a=-1$已舍)。$a=-\frac{3}{2}$时,$a - 2=-\frac{7}{2}$,集合元素为$-\frac{7}{2},-3,12$,符合题意,所以$a=-\frac{3}{2}$。
变式练 在本例中,若将条件“$-3\in A$”改为“$3\in A$”,其他的条件不变,则实数a的值为
5或-3或$\frac{1}{2}$
.
答案:5或-3或$\frac{1}{2}$解析:因为3∈A,所以分情况讨论:当$a - 2=3$时,$a=5$,此时$2a^2 + 5a=2×25 + 25=75$,集合为{3,75,12},元素互异,符合题意。当$2a^2 + 5a=3$时,$2a^2 + 5a - 3=0$,即$(2a - 1)(a + 3)=0$,解得$a=\frac{1}{2}$或$a=-3$。- 当$a=\frac{1}{2}$时,$a - 2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$,集合为$\{-\frac{3}{2},3,12\}$,元素互异,符合题意。- 当$a=-3$时,$a - 2=-3 - 2=-5$,集合为{-5,3,12},元素互异,符合题意。综上,实数$a$的值为5或-3或$\frac{1}{2}$。
设集合A中含有元素$a^2 + 2a - 3$,1,3,集合B中含有元素2,$|a + 3|$,若5∈A,且5∉B,则a的值为
-4
.
答案:-4
解析:因为5∈A,所以$a^2 + 2a - 3=5$,即$a^2 + 2a - 8=0$,解得$a=2$或$a=-4$。当$a=2$时,$|a + 3|=5$,则5∈B,不符合5∉B;当$a=-4$时,$|a + 3|=1$,5∉B,符合题意,所以$a=-4$。
5.设集合C中的元素等于集合A与集合B的元素的积,若集合A中的元素为1,2,集合B中的元素为0,2,则集合C中的所有元素之和为(
D

A.0 B.2 C.3 D.6
答案:D
解析:集合A={2},集合B={0,2},元素积为1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4,集合C={0,2,4},元素之和为0+2 + 4=6
【问题情境】
定义满足“如果$a\in A$,$b\in A$,那么$a\pm b\in A$,$ab\in A$,$\frac{a}{b}\in A(b\neq0)$”的集合$A$为“闭集”。
试问数集$\mathbf{N}$,$\mathbf{Z}$,$\mathbf{Q}$,$\mathbf{R}$是否分别为“闭集”?若是,请说明理由;若不是,请举反例说明。

答案:解:- 对于$N$(自然数集): 因为$1\in N$,$2\in N$,而$\frac{1}{2}\notin N$,不满足“闭集”定义中$\frac{a}{b}\in A(b\neq0)$这一条件,所以$N$不是“闭集”。- 对于$Z$(整数集): 因为$1\in Z$,$2\in Z$,而$\frac{1}{2}\notin Z$,不满足“闭集”定义中$\frac{a}{b}\in A(b\neq0)$这一条件,所以$Z$不是“闭集”。- 对于$Q$(有理数集): 设$a\in Q$,$b\in Q$($a = \frac{m}{n}$,$b = \frac{p}{q}$,$m,n,p,q\in Z$,$n\neq0$,$q\neq0$)。 $a + b=\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=\frac{mq+np}{nq}\in Q$;$a - b=\frac{m}{n}-\frac{p}{q}=\frac{mq - np}{nq}\in Q$;$ab=\frac{m}{n}×\frac{p}{q}=\frac{mp}{nq}\in Q$;当$b\neq0$,即$p\neq0$时,$\frac{a}{b}=\frac{\frac{m}{n}}{\frac{p}{q}}=\frac{mq}{np}\in Q$,满足“闭集”定义,所以$Q$是“闭集”。- 对于$R$(实数集): 设$a\in R$,$b\in R$。 $a + b\in R$;$a - b\in R$;$ab\in R$;当$b\neq0$时,$\frac{a}{b}\in R$,满足“闭集”定义,所以$R$是“闭集”。综上,$N$,$Z$不是“闭集”;$Q$,$R$是“闭集”。
【迁移应用】若集合$A$是由元素$1$,$2$,$3$,$4$,$5$构成的数集,集合$B$为点集,且集合$B$中的
元素满足$x\in A$,$y\in A$,$x - y\in A$,其中$x$,$y$分别为点的横坐标和纵坐标,
则集合$B$中所含元素的个数为____.

答案:
1. 首先,根据条件$x\in A$,$y\in A$,$x - y\in A$($A=\{1,2,3,4,5\}$)进行分析:
当$x = 5$时:
若$x - y\in A$,$y$可以取$1$,$2$,$3$,$4$。
因为$5−1 = 4\in A$,$5−2 = 3\in A$,$5−3 = 2\in A$,$5−4 = 1\in A$,此时对应的点$(x,y)$为$(5,1)$,$(5,2)$,$(5,3)$,$(5,4)$。
当$x = 4$时:
若$x - y\in A$,$y$可以取$1$,$2$,$3$。
因为$4−1 = 3\in A$,$4−2 = 2\in A$,$4−3 = 1\in A$,此时对应的点$(x,y)$为$(4,1)$,$(4,2)$,$(4,3)$。
当$x = 3$时:
若$x - y\in A$,$y$可以取$1$,$2$。
因为$3−1 = 2\in A$,$3−2 = 1\in A$,此时对应的点$(x,y)$为$(3,1)$,$(3,2)$。
当$x = 2$时:
若$x - y\in A$,$y$可以取$1$。
因为$2−1 = 1\in A$,此时对应的点$(x,y)$为$(2,1)$。
当$x = 1$时:
若$x - y\in A$,没有满足条件的$y$值(因为$1 - y\gt0$时,$y\lt1$,$y\notin A$)。
2. 然后,计算集合$B$中元素的个数:
集合$B$中的元素个数为$4 + 3+2 + 1=\frac{(1 + 4)×4}{2}=10$。
所以集合$B$中所含元素的个数为$10$。