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2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版
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3. 设$ p,q $均为实数，判断“$ q\lt0 $”是“方程$ x^{2}+px + q = 0 $有一个正实根和一个负实根”的什么条件。
答案：充要条件
解析：方程有一正一负根等价于$\Delta = p^{2}-4q\gt0$且$ q\lt0 $，而$ q\lt0 $时$\Delta\gt0$恒成立，故为充要条件。
6. 若$ a,b $是实数，则“$ a + b\gt0 $，且$ ab\gt0 $”的充要条件为
$ a\gt0 $且$ b\gt0 $
。
答案：$ a\gt0 $且$ b\gt0 $
解析：$ ab\gt0 $得$ a,b $同号，$ a + b\gt0 $得同正。
7. 四个电路图如图所示，$ p $：“开关$ S $闭合”，$ q $：“灯泡$ L $亮”，则$ p $是$ q $的充分不必要条件的电路图是
②
；$ p $是$ q $的充要条件的电路图是
①
。
答案：②；①
解析：图②中$ S $闭合则$ L $亮，但$ L $亮可能是$ S_{1} $闭合（假设其他开关），故充分不必要；图①中$ S $闭合$ L $亮，反之亦然，为充要条件。
8. 已知集合$ M=\{x|x\lt - 3 $，或$ x\gt5\} $，$ P=\{x|(x - a)(x - 8)\leq0\} $，求实数$ a $的取值范围，使它成为$ M\cap P=\{x|5\lt x\leq8\} $的充要条件。
答案：$ a = - 3 $
解析：$ P $的解集为$[\min(a,8),\max(a,8)]$。要使$ M\cap P=(5,8] $，则$ P $左端点为$ - 3 $（即$ a=-3 $），此时$ P=[-3,8] $，$ M\cap P=(5,8] $。
4. 若$ a,b $是实数，则“$ a\lt0 $，且$ b\lt0 $”是“$ ab(a - b)\gt0 $”的（
D
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：D
解析：当$ a=-2,b=-1 $时，$ ab(a - b)=2×(-1)=-2\lt0 $（不充分）；当$ a = 3,b = 2 $时，$ ab(a - b)=6×1=6\gt0 $（不必要）。
5. 多选题 下列说法正确的是（
BC
）
A. “$ x\gt3 $”是“$ x\gt2 $”的必要条件
B. “$ x\gt1 $”是“$ x^{2}\gt1 $”的充分不必要条件
C. “$ x = 2 $或$ - 3 $”是“$ x^{2}+x - 6 = 0 $”的充要条件
D. “$ a\lt b $”是“$ a^{2}\gt b^{2} $”的必要不充分条件
答案：BC
解析：A. $ x\gt3\Rightarrow x\gt2 $，应为充分条件；B. $ x\gt1\Rightarrow x^{2}\gt1 $，反之不成立（如$ x=-2 $）；C. 方程$ x^{2}+x - 6 = 0 $的根为$ 2 $或$ - 3 $；D. $ a\lt b $与$ a^{2}\gt b^{2} $无必然联系（如$ a = 1,b = 2 $）。
