3．(北师大版第69页练习2第2题)解三角形的实际应用

　　某观察站B在城A的南偏西的方向，由A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B31km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km。这个人要走多少路才能到达A城？

变式1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向　

相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船

立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，

相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少

度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)？

解析：连接BC,由余弦定理得：

BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700.

即BC=10

　∵，

∴sin∠ACB=，

　　 ∵∠ACB<90°，∴．

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．

变式2：如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．

　　 解：在中，．

由正弦定理得：．

所以．

在中，．

变式3：如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

解法一：如图，连结，由已知，

，

，

又，

是等边三角形，

，

由已知，，

，

在中，由余弦定理，得：

．

．

因此，乙船的速度的大小为(海里/小时)．

答：乙船每小时航行海里．

解法二：如图，连结，由已知，，，

，

．

在中，由余弦定理，

．

．

由正弦定理，得：

，

，即，

．

在中，由已知，由余弦定理，得：

．

，

乙船的速度的大小为海里/小时．

答：乙船每小时航行海里．

2．(北师大版第63页A组第6题)三角形中的几何计算

在中，，，的平分线交过点且与平行的线于点．求的面积．

变式1：已知的周长为，且．

(I)求边的长；

(II)若的面积为，求角的度数．

解：(I)由题意及正弦定理，得，

，

两式相减，得．

(II)由的面积，得，

由余弦定理，得

　　　　　　　　　　　　　　 　，

所以．

变式2：△ABC中，则△ABC的周长为(　 )．

A．　　　　 B．

C．　　　　　 D．

解：在中，由正弦定理得：化简得：AC=

，化简得：AB=，

所以三角形△ABC的周长为：3+AC+AB=3++

=3+

故选D

变式3：在，求(1)(2)若点

解：(1)由得：

，

由正弦定理知:　 ，

(2)，

由余弦定理知：

1．(北师大版第59页A组第2题)正弦定理与余弦定理

在中，若 ，则．

A．　 　　　B．　　　 C．　 　　　D．　

变式1：在中，若 ，，，则__________．

答案：1或3

变式2：在中，若 ，，，则此三角形的周长为__________．

答案：

变式3：已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a=4，b=5，S=5，求c的长度．

　解：∵S＝absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°

又∵c²＝a²+b²－2abcosC，

当∠C＝60°时，c²＝a²+b²－ab，c＝

当∠C＝120°时，c²＝a²+b²+ab，c＝

∴c的长度为或

19.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0，5)，且f(x)在区间

［－1，4］的最大值是12。　

　⑴求f(x)的解析式；

⑵是否存在自然数m,使得方程 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实根？若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由。

18.已知，．

(Ⅰ)当时，求证：在上是减函数；

(Ⅱ)如果对不等式恒成立，求实数的取值范围．

17．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)> -2x的解集为(1,3).

　 (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;

　(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.

16. 设 f (x) = |x-a|-ax，其中0<a<1为常数，

(1)解不等式 f (x)<0；

(2)试推断函数f (x)是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。

15. 已知不等式的解集是，求不等式的解集.

14.若不等式对于区间内的任意x都成立，则实数a的取值范围是____________

13．设，函数，则使取值范围是____________