4.(重庆卷文21)已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.

(Ⅰ)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；

(Ⅱ)如题(21)图，已知过点的直线：与过点(其中)的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，求的值.

3.(重庆卷理20)已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率.

(Ⅰ)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

(Ⅱ)如题(20)图，已知过点的直线：

与过点(其中)的直线：的交点

E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H

两点，求△OGH的面积．

2.(全国Ⅱ卷理21文22)己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．

　 (Ⅰ)求C的离心率；

　 (Ⅱ)设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

[分析]本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。

(1)由直线过点(1，3)及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为(1，3)，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a,b的关系式即求得离心率。

(2)利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得(1，0)，由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。

[解析](Ⅰ)由题设知，的方程为：，代入C的方程，并化简，得，设 ，

故不妨设，

，

，

.

又　 ，故　 ，

解得，或(舍去)，

故，

连结MA，则由，知，从而,且轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与轴相切，所以过A、B、D三点的圆与轴相切.

1.(广东卷理20)一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点。

　　 (1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；

　　 (2)若过点H(0, h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。

故，即。

(2)设，则由知，。

将代入得

，即，

由与E只有一个交点知，，即。

同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而，即。

8.(上海春卷7)已知双曲线C经过点(1，1)，它的一条渐近线方程为。则双曲线C的标准方程是_______________。

答案：。

解析：设双曲线的方程为，将点代入可得。故答案为。

7.(天津卷文13)已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为　 　　　　　。

[答案]

[解析]由题意知，双曲线的一个焦点为(4，0)，即，又因为已知双曲线的一条渐近线方程是，所以有，即，可解得，，故双曲线的方程为。

[命题意图]本题考查双曲线的几何性质、抛物线的几何性质、待定系数法求双曲线方程，考查运算能力以及对基础知识的熟练掌握程度。

6.(上海卷文13)在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若(、)，则、满足的一个等式是　　　　　 。

[答案]4ab=1

解析：因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又

双曲线方程为，=，

，化简得4ab=1

5.(上海卷理13)如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是　　　　　

[答案]　 4ab=1　

解析：

=，点P在双曲线上

，化简得4ab=1

4.(江西卷理15文15)点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则=　 　　　　　

[答案] 2

[解析]考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,,

3.(江苏卷6)在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______

[答案]4

　[解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。