2.(福建卷理7)若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 (　　 )

A. 　　B. 　　　C. 　　　D.

[答案]B

[解析]因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。

[命题意图]本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

1.(安徽卷理5)双曲线方程为，则它的右焦点坐标为

A、 B、 C、 D、

[答案]C

[解析]双曲线的，，，所以右焦点为.

[误区警示]本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.

33.(重庆卷文20)如题(20)图，四棱柱P-ABCD中，底面ABCD

为矩形，PA⊥底面点E是棱PB的中点。

( Ⅰ)证明：AE⊥平面PBC

(Ⅱ)若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值。

32.(重庆卷理19)如题(19)图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。

(Ⅰ)求直线AD与平面PBC的距离；

(Ⅱ)若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

31.(浙江卷文20)如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°,E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。

(Ⅰ)求证：BF∥平面A’DE；

(Ⅱ)设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。

解析：本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。

　(Ⅰ)证明：取A′D的中点G，连结GF，CE，由条件易知

FG∥CD，FG=CD.

BE∥CD,BE=CD.

所以FG∥BE,FG=BE.

故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG

因为平面，BF平面

所以 BF//平面

(Ⅱ)解：在平行四边形,ABCD中，设BC=a

　 则AB=CD=2a,　 AD=AE=EB=a,　 连CE

　 因为

在△BCE中，可得CE=a,

在△ADE中，可得DE=a,

在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE,

在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE.

由平面A′DE⊥平面BCD,

可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.

取A′E的中点N，连线NM、NF，

所以NF⊥DE,NF⊥A′M.

因为DE交A′M于M,

所以NF⊥平面A′DE,

则∠FMN为直线FM与平面A′DE新成角.

在Rt△FMN中，NF=a, MN=a, FM=a

,则cos=.

所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.

30.(浙江卷理20)如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.

(Ⅰ)求二面角的余弦值；

(Ⅱ)点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。

解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。

(Ⅰ)解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,

又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz则(2，2，)，C(10，8，0)，

F(4，0，0)，D(10，0，0).　　

故=(-2，2，2)，=(6，0，0).

设=(x,y,z)为平面的一个法向量，

　　　 -2x+2y+2z=0

所以

　　　 6x=0.

取，则。

又平面的一个法向量，

故。

所以二面角的余弦值为

(Ⅱ)解：设则，

　　 因为翻折后，与重合，所以，

　　 故， ，得，

　　 经检验，此时点在线段上，所以。

方法二：

(Ⅰ)解：取线段的中点,的中点,连结。

　　　 因为=及是的中点，所以

又因为平面平面，

所以平面,

又平面,故，

又因为、是、的中点，易知∥，

所以，于是面，

所以为二面角的平面角，

在中，=，=2，=

所以.故二面角的余弦值为。

(Ⅱ)解：设,

　　　　 因为翻折后，与重合，所以，

　　　　　 而，

得，

经检验，此时点在线段上，所以。

29.(天津卷文19)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.

(Ⅰ)求异面直线CE与AF所成角的余弦值； 　　　

(Ⅱ)证明CD⊥平面ABF；

(Ⅲ)求二面角B-EF-A的正切值。

[命题意图]本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.

[解析](I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.

因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.

在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==.

所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.

(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF，交BC于点M，则为二面角B-EF-A的平面角。

连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM=.由NG//FA,FAGM,得NGGM.

在Rt△NGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值为.

28.(天津卷理19)如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,

求异面直线与所成角的余弦值；

证明平面

求二面角的正弦值。

[命题意图]本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。

[解析]方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,,,

解：易得,

于是

　 所以异面直线与所成角的余弦值为

证明：已知,,

于是·=0，·=0.因此，,,又

所以平面

(3)解：设平面的法向量，则,即

不妨令X=1,可得。由(2)可知，为平面的一个法向量。

于是，从而

所以二面角的正弦值为

方法二：(1)解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为

(2)证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.

连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED

(3)解：连接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角

易知，所以，又所以，在

连接A1C1,A1F 在

。所以

所以二面角A1-DE-F正弦值为。

27. (四川卷文18)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M

是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.

(Ⅰ)求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；

(Ⅱ)求二面角M－BC′－B′的大小；

26.(四川卷理18)已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点.

(Ⅰ)求证：为异面直线和的公垂线；

(Ⅱ)求二面角的大小；

(Ⅲ)求三棱锥的体积.