15. (本小题满分14分)已知，若，试求实数的值。

22. 解：(1) 双曲线的方程可化为- y²=1，则|FF₂|=2，|PF₁|+|PF₂| = 4>|FF₂|，

所以点P的轨迹E是以F₁，F₂为焦点且长轴长为4的椭圆，其方程为 + y²=1.

　　 (2) 假设存在满足条件的点D(0 , m)，设直线a的方程为y=k(x-)(k≠0)

代入椭圆方程得：(1+4k²)x²-8k²x+12k²-4=0，w_w w. k#s5_

设A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，由韦达定理得：

x₁+ x₂=，y₁+ y₂=k(x₁+ x₂-2)=

　　　 =(x₁, y₁-m)，=(x₂, y₂-m)，

　　　 +=( x₁+ x₂, y₁+ y₂-2m)，

又=λ(1,k) (λ= x₂- x₁)，

∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，

∴(+)⊥

∴(+)·=0，即+-2mk=0，整理得：-2mk=0，(8分)

∵k≠0，∴m= = 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

若k>0，则≤(当且仅当k = 时取等号)，即m∈(0,]　 　(10分)

若k<0，则≥-(当且仅当k = -时取等号)，即m∈[-,0)　 (11分)

综上，满足条件的点D存在，其活动范围是满足-≤y≤且y≠0的区域.

w_w w. k#s5_

21．方法(一)几何法　 下图辅助线w_w w. k#s5_

解法二：w_w w. k#s5_

　 (I)分别以BA、BC、BB₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

∴BM⊥平面A₁B₁M　 ………………4分

　 (II)设为面A₁BM的法向量，则

所以平面A₁BM与平面ABC所成锐二面角的大小为 …………8分

(III)因为，所以点C到平面A₁BM的距离w_w w. k#s5_

　 ………………12分

20. 解：(1) PQ为······················································ 2分

C在PQ的中垂线即y = x – 1上································· 3分

设C(n，n – 1)，则········································ 4分

由题意，有······································································ 5分

∴ 　∴ n = 1或5，r ² = 13或37(舍)

∴圆C为············································································ 6分

解法二：

设所求圆的方程为

由已知得解得

当时，；当时，(舍)

∴ 所求圆的方程为

　(2) 设l为

由，得

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则

∵ ，　 ∴

∴

∴ 　　　∴ m = 3或 – 4(均满足)

∴ l为··························································· 12分

w_w w. k#s5_

19. 解：(1)甲通过测试需得2分或4分，即答对3道或4道试题

所以…………………………6分；

(2)至少有两名学生成为宣传员，即有两名或三名同学通过了测试，因为每个人答题相互不受影响，所以三人是否成为宣传员是相互独立事件，又因为每个人成为宣传 员的概率均为，故为独立重复试验；

所以……12分. w_w w. k#s5_

18. 解：(1)取的中点的中点连结w_w w. k#s5_

平面, .

又,

平面．……………………………3分

,四边形是平行四边形, 　平面

又平面, 平面平面　………………………6分

　(2)过作于，连结．

由(1)中的平面平面知面，所以在面上的射影为，所以就是所求的角．　 …………………………………9分

令正方体的棱长为，所以，所以．

即与平面所成角的大小的正弦值为．　 ……………………12分

13． 1　 　　14.　　 　　15. 16.　 w_w w. k#s5_

17　 解：(I) (个)

　　　 (II) 当末尾是“0”时 　(个)当末尾是“5”时 (个)

　　　　　　　　 ∴能被5整除的四位数共有660个

　　　 答：(1)可以组成180不同的四位奇数(2)可以组660个能被5整除的五位数

22.(本小题满分14分)已知双曲线x²-2y²=2的左、右焦点分别是F₁、F₂，动点P满足

(I)求动点P的轨迹E的过程。

(II) 设过点F₂且不垂直与坐标轴的动直线a交轨迹E与A、B两点，试问在y轴上是否存在一点D使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，试判断点D的活动范围：若不存在，试说明理由。

　w_w w. k#s5_

南溪一中高2011级2009-2010学年下期期末数学模拟试题

21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AC=2AB=4，AA₁=，M为CC₁的中点。

　 (I)求证：BM⊥平面A₁B₁M；

　 (II)求平面A₁BM与平面ABC所成锐二面角的大小；

　 (III)求点C到平面A₁BM的距离。w_w w. k#s5_

20．(本题满分12分)已知圆C经过P(4，– 2)，Q(– 1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5．w_w w. k#s5_

(I)求直线PQ与圆C的方程．

(II)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，，求直线l的方程．