目要求的。

1．已知集合M={x|x－a=0}，N={x|ax－1=0}，若MN=N，则实数a的值是

　　　 A．1　　　　　　　　　　 B．-1　　　　　　　　　 C．1或-1　　　　　　　　　　 D．0或1或-1

(三)不等式与几何的关系

　数学关系实质上是反映现实生活中的量与量的关系的，因而往往具有一些实际意义(或几何意义)，不等关系也是这样.

　1.构造几何图形证明不等式

　1)对于一些含有“A+B≥C”结构的不等式问题，可联想“三角形两边之和大于第三边.”构造三角形证明

　例13　 x、y、zεR⁺，求证：

　简析：

　由联想到余弦定理，构造三棱锥

o-ABC得证(如图)，AB=　　 BC=　 CA=及ΔABC中，AB+BC＞AC

　2)对于一些含有“A·B或(A+B)·C”结构的不等式问题，可联想面积证明之

　例14　 设a＞c,b＞c＞0,求证：

　简析：∵()²+()²=()²

　()²+()²=()²即勾股定理，

=(+)联想到梯形面积可用补形法构造一个梯形.(如右图)

　3)对于含有“a²+b²+c²”结构的不等式问题，可联想长方体中的对角线与棱长的公式，构造长方体.

　4)对于一些含有“(a-m)²+(b-n)²”或”结构的不等式问题可用解几中的两点间的距离，点到直线的距离公式进行构图求证.

　5)对含有“a²+b²=R²且aA+bB+C=0”结构的不等问题，可构造圆与直线的位置关系求 证.

　2.运用不等式知识解决几何最值

　这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用不等式知识(如函数单调性，基本不等式等)求 出函数最值，这里不作详述.

(二)不等式与函数、方程的关系

　前面谈到“不等”与“相等”的相互依存，转化，在不等式与函数、方程中尤为突出.

　1.一元二次不等式与二次函数，一元二次方程的关系

　(1)一元二次方程的根(二次函数图像与x轴交点的横坐标)是对应一元二次不等式解集的端点值，由此可引申出解一元高次不等式的“根轴法”，可以由数形结合，根据函数图像求不等式的解集.

　(2)方程的条件根问题可以借助所设辅助函数与关于函数值的不等式，得出等价转化.

　例10　 解不等式＜2log_ax-1(a＞0,a≠1)。

　本小题主要考查对数函数的性质，对数不等式，无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论 的思想。

　解　 原不等式等价于

　由①得　 log_ax≥,

　由②得　 log_ax＜,或log_ax＞1

　由③得　 log_ax＞，

　由此得　 ≤log_ax＜,或log_ax＞1

　当a＞1时得所求的解是{x｜}∪{x｜x＞a｜};

　当0＜a＜1时得所求的解集是

　{x｜}∪{x｜0＜x＜a}

　2.不等式与函数最值

　(1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，可使用的方法很多，代数的，三角的，几何的问题中都有大量的求最值问题，求函数的值域也常归结为函数的最值；许多实际问题的应用题也能利用最值解决.

　而最值问题往往归结为不等问题，用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题，代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理，有着广泛的应用价值，(课本上虽为二个正数，但可推广到三、四个及多个的情形)在利用它解决问题时，要注意三个条件“一正 、二定、三能等”即：①这几个数都必须是正数.例如：当xy=4，如果没有x、y都为正数这个条件，就不能说x+y有最小值4，因为若x=y=-2虽满足xy=4但x+y=-4＜4.②这几个数必须满 足条件“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”这个条件，就不能应用这两个定 理.例如：当x＞0时，求y=x²+的最小值，若写成y=x²+≥2(等号当且仅当x²=即x=1时y_min=2=2)则最小值为2，这是错误的. 而应该是这样的：由于x²·为定值， 故y=x²+=x²+=，即y_min＝ (显然()³=＜8　 即＜2

　③要保证等号能成立，如果等号不能成立，则求出的仍不是最值，例如：当0＜x＜时求y=sinx+的最小值，尽管y=sinx+≥2=4.但y_min＝4是错误的，因为当sinx=时可推出sinx=2(sinx＞0)不成立，这只能说y＞ 4恒成立，因此y_min＞4必成立，实际上由y=t+在(0，1］上是 单调减函数可知，当sinx=1时y_min=5

　(2)不等式与二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最值

　x∈R时

　①当a＞0时，x=-时，y_min=；当a＜0，x=-时y_max=

　②当xε［m,n］(m＜n)时，易画出图像(是抛物线的一部分)“看图说话”.

　例11　 若a＞0，y=ax²+bx+c的最值如下表

	n≤-	m≤-≤	＜-≤n	m≥-
最大值	f(m)	f(m)	f(n)	f(n)
最小值	f(n)	f(-)	f(-)	f(m)

当a＜0时，可依上表写出类似结论.

　(3)重要函数y=x+，(a＞0,x＞0)的单调性.

　利用不等式的性质可证明，y=x+在(o，)上是减函数，在 QS［，+∞)上是增函数.

　例12　 已知f(x)=x²+ax+b,-1≤x≤1,若｜f(x)｜的最大值是M。证明：M≥.

　证明　 抛物线f(x)=x²+ax+b的顶点坐标是(-,),且f(1)=a+b+1, f(-1)=-a+b+1。

　(1)若｜-()｜＞1，则M应是｜f(-1)｜与｜f(1)｜中最大的一个。 ｜ f(-1)｜+｜f(1)｜≥｜f(1)-f(-1)｜=2｜a｜＞4

　得｜f(-1)｜、｜f(1)｜中必有一个大于者。

　(2)若｜-｜≤1，则M应是｜f(-1)｜、｜f(1)｜、｜｜中最大的一个。

　①若b≥-,则｜f(1)｜+｜f(-1)｜≥｜f(1)+f(-1)｜＝｜2+2b｜≥1, 故在｜f(-1)｜与｜f(1)｜中必有一个大于等于。

　②若b＜-，则△=a²-4b＞0,｜｜=-b≥-b＞,故必有M＞。

　综上，M≥总成立。

(一)“相等”与“不等”的关系

　“相等”和“不等”是现实世界物质形式中量与量的两种重要的关系，它们是相互关联，相互依存的，在一定的条件下，互相转化.在数学学习过程中，要注意“相等”与“不等”的相互关系，抓住实质性联系，通过“相等”与“不等”的转化，找到解决问题的途径，达到解决问题的目的.为便于说明，举例如下：

　1.“相等”与“不等”相互转化.

　a)“相等”向“不等”的转化

　例1　 在ΔABC中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：≤B＜.

　这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于另一 (些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.

　简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA·tgctg²B=tgA·tgc

　tgB=tg(π-(A+C))=-

　∴tgA+tgC=tgB(tg²B－1)

　∵tgA+tgC≥2=2tgB

　即　 tg²B-1≥2

　∴tgB≥　　　　 ∵B≥……

　这里，抓住了tg²B=tgA·tgC这一相等关系及tgB=-隐含关系.通过tgA+tgC≥2这一恒成立的不等式得出关于tgB的不等式，求解即得结论.

　b)“不等”向“相等”的转化.

　ⅰ)由实数理论知：若a≥b且a≤b则必有a=b，这是由“不等”变为“相等”的典型模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)²≤0及隐含条件(x-y)²≥0可以导出(x-y)²＝0

　ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y＞0y＞-x可含y=-x+t，这里t＞0，从而把x,y的“不等”关系转化为某种“相等”关系.

　例2　 已知a、b、c∈R，函数f(x)=ax²+bx+c，g(x)=ax+b ，当-1≤x≤1时，f(x)≤1

　(1)证明：当｜x｜≤1时，｜g(x)｜≤2

　(2)设a＞0，当｜x｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x).

　本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(2)小题.

　　 已知告诉我们：对一切x∈［-1,1］，g(x)≤2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a＞0 ”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a、b、c相等，很明显是“不等”向“ 相等”的转化.

　简解如下：

　∵a＞0，∴g(x)=ax+b是［-1,1］上的增函数，当x=1时，g(x)_max=g(1)

　即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0)　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　 ∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1

　　　 ∴c=f(0)=-1

　∵当-1≤x≤1 时f(x)≥-1恒成立，即f(x)≥f(0)

　∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-=0，即b=0代入①得a=2

　∴f(x)=2x²-1

　2.“相等”与“不等”的构造

　从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.

　a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：

　途径：①利用重要不等式：ⅰ)a²+b²≥2ab　　 ⅱ)a、b、c∈R⁺，

　a+b≥2，a+b+c≥3　　 ⅲ)+≥2(a、b＞0)等等

　②利用函数单调性：f(x)是区间I上的增函数，若x₁、x₂∈I，则f(x₂ )＜f(x₁)；f(x)是区间I上的减函数，若x₁、x₂∈I，则f(x₁)＞f(x₂)；

　③利用等量关系中的隐含条件，如

　　 y=　　 x²+y²=a²

　例3　 已知a、b为正数，且a+b=1，求证(a+)²+(b+)²≥().

　证明一　 因a、b为正数，a+b=1，于是

　(a+)²+(b+)²

　=(a+)²+(b+)²

　=(a+1+)²+(b+1+)²

　=a²+1++2a+2b+2·+b²+1++2b+2a+2·

　=6+(a²+b²)+( +)+2(+)

　=6+(a+b)²-2ab+()+2()+≥13-2ab

　由≤=得,ab≤

　所以13-2ab≥

　故　 (a+)²+(b+)²≥(当且仅当a=b=时取等号)。

　证明二　 由定理a²+b²≥2ab,易得a²+b²≥,于是

　(a+)²+(b+)²≥(a++b+)²

　=((a+b)+)²= (1 +)²

　由　 ≤=,得ab≤又有,即≥4

　例4　　 求满足(x²+2x+3)(y²+1)=2的实数x,y

　解：∵x²+2x+3=(x+1)²+2≥2　　 y²+1≥1

　∴(x²+2x+3)(y²+1)≥2　 当且仅当x²+2x+3=2,y²+1=1时成立

　解之得x=-1且y=0

　b)在“不等”关系中构造“相等”关系.

　途径：①设元构造.例：x²+y²≤1

　②数形结合，构造函数(或方程).例：≥x可设y₁= ,y₂=x

　例5　 求证：　 (n∈N，n≥2)

　证明：∵2ⁿ=(1+1)ⁿ＝1+n++…

　∴n≥2，n∈N,右端展开式中的各项为正

　∴2ⁿ＞

　即＜

　例6　 为使不等式x²+4xy+4y²+10x+ay+b＞0对任意实数x、y恒成立，求 实数a、b应满足的条件.

　解：为使不等式恒成立，须且仅须x²+4xy+4y²+10x+ay+b为一个实数的平方加上一个正增量t，可令x²+4xy+4y²+10x+ay+b=(x+2y+m)²+t=x²+4xy+4y²+2mx+4my+m²+t

　根据多项式相等的条件有：

　所以当a=20,b＞25时，原不等式恒成立.

　例7　 已知x²+y²≤1，求x+y的最大值.

　分析：这里，量x+y与x²+y²的直接关系可以通过2(x²+y²)≥(x+y)²得出，还可以通过换元令x=rcosθ，y=rsinθ，则有r²≤1

　∴0≤r≤1

　∴x+y=rcosθ+rsinθ=rsin(θ+)≤r≤得出.

　3.由不等进行估算

　估计变数或式子的取值范围，对某些数学问题能起到挖掘隐含信息，找到思维的切入点，从而使困难的问题迎刃而解.

　例8　 求解方程组

　这是二个方程三个变量的方程组，按常规似乎有无数个解.但可对xy进行估算，可知xy＞9 ，否则z²＜0,x+y＞0

　∵x＞0,且y＞0且6=x+y≥2?xy≤9故z²=xy-9≤9-9=0

　∴z=0且x=y=3

　4.由不等推出矛盾：

　反证法是“数学家最精良的武器之一”，它在数学解题中确有奇效，若能有意识地挖掘问题中潜在的不等关系，使两者联手，往往可以及时找到矛盾点--由不等导出矛盾.

　例9　 已知锐角α，β满足+=2，求证α+β＝

　证明：假设α+β＞，则α＞-β，β ＞-α

　∵α，β，-2，-βε(0，)

　∴cosα＜cos(-β)＝sinβ

　　 cosβ＜cos(-α)=sinα

　从而2=+＜=2矛盾

　故α+β≤，同理α+β≥，∴α+β=

6.不等式的应用

　利用不等式求最值，主要利用公式

　，其中a_i＞0(i=1,2,…n)

　(1)当a₁+a₂+…+a_n=m(常数)时，乘积a₁·a₂…a_n有最大值，其最大值为()ⁿ，当且仅当a₁=a₂=…＝a_n时取最大值.

　(2)当a₁·a₂…a_n＝N(常数)时，和a₁+a₂+…+a_n有最小值，其最小值为n，当且仅当a₁=a₂=…=a_n时取最小值.

　利用此公式求最值，必须同时满足下面三个条件：

　①各项均为正数；

　②其和或积为常数；

　③等号必须成立.

　利用此公式求最值，只需掌握n=2，3时的情形.

5.证明不等式

　不等式的证明的方法很多，主要应掌握比较法、分析法与不等式的解法

　(1)一元一次不等式ax＞b

　①a＞0时，解集为{x｜x＞a}

　②a＜0时，解集为{x｜x＜a}

　③a=0时，(ⅰ)b≥0，解集为Φ；(ⅱ)b＜0，解集为R

　(2)一元二次不等式：(如下表)其中a＞0，x₁，x₂是二次三项式ax²+bx+c=0的两实根，且x₁＜x₂

类 型 解 集	ax2+bx+c＞0	ax2+bx+c≥0	ax2+bx+c＜0	ax2+bx+c≤0
Δ＞0	{x ｜x＜x1或x＞x2}	{x｜x≤x1或x≥x2}	{x｜x1＜x＜x2	{x｜x1≤x ≤x2}
Δ＝0	{x｜x≠-，xR}	R	Ф	{x｜x=-}
Δ＜0	R	R	Φ	Φ

　(3)简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：

　①将f(x)的最高次项的系数化为正数；

　②将f(x)分解为若干个一次因式的积；

　③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；

　④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.

　(4)分式不等式：先整理成一般形式＞0或≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：

　＞0f(x)·g(x)＞0

　≥0

　然后用“根轴法”或化为不等式组求解.

　(5)无理不等式：转化为有理不等式求解，常见类型有数学归纳法，另外，对反证法，放缩法和判别式法利用函数单调性等方法也应明确.

　A.比较法：

　a.求差比较法：a＞ba-b＞0；a＜ba-b＜0；a=ba-b=0

　b.求商比较法：b＞0，＞1a＞b；b＜0，＞1a＜b

　步骤：作差(或商)变形判断.

　B.综合法

　利用某些已经证明的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所求证的不等式，这种证明方法叫综合法.综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个(组)已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证的不等式.

　常用性质有：

　a.(a+b)²≥0；

　b.若a、b∈ R，a²+b²≥2ab(当且仅当a=b时取等号)；

　c.若a＞0，b＞0，c＞0，则有：

　a+b≥2(当且仅当a=b时取等号)；

　a+b+c≥3(当且仅当a=b=c时取等号)；

　a³+b³+c³≥3abc(当且仅当a=b=c时取等号).

　C.分析法：

　从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件把证明这个不等式的问题转化为这 些条件是否具备的问题.如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所求证的不等式 成立，这种证明方法叫分析法，分析法的思索路线是“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止.

4.解不等式的基本思想是化归为一元一次或一元二次不等式，主要依据是不等式的基本性质 ，要特别注意等价转化.

　①＞a

　②

　③

　④

　⑤

　(6)指数不等式：转化为代数不等式.

　a^f(x)＜a^g(x)(a＞1)f(x)＜g(x)；

　a^f(x)＜a^g(x)(0＜a＜1)f(x)＞g(x)；

　a^f(x)＜b(a＞0，b＞0，a≠b) f(x)·lga=lgb

　(7)对数不等式，转化为代数不等式.

　log_a^f(x)＜log_a^g(x)(a＞1) 0＜f(x)＜g(x)

　log_a^f(x)＜log_a^g(x)(0＜a＜1)f(x)＞g(x)＞0

　(8)含有绝对值符号不等式

　｜f(x)｜＜a(a＞0)-a＜f(x)＜a

　｜f(x)｜＞a(a＞0)f(x)＞a或f(x)＜-a

　另外，对于含有参数的不等式，要能正确地运用分类讨论方法求解.

3.重要的基本不等式

　(1)若aR，则｜a｜≥0，a²≥0

　(2)若a、bR，则a²+b²≥2ab

　(3)若a、bR⁺，则 (当且仅当a=b时等号成立)

　(4)若a、b、cR⁺，则(当且仅当a=b=c时等号成立)

　(5)a＞0时

　　 ｜x｜＞ax²＞a²x＜-a或x＞a

　　 ｜x｜＜ax²＜a-a＜x＜a

　(6)若a、bR，则｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜

2.不等式的性质

　(1)基本性质

　①a＞bb＜a(对称性)

　②a＞b，b＞ca＞c(传递性)

　③a＞ba+c＞b+c(加法单调性)

　④a＞b，c＞0ac＞bc

　　 a＞b，c＜0ac＜bc(乘法单调性)

　(2)运算性质

　①a＞b，c＞da+c＞b+d(同向不等式相加)

　②a＞b，c＜da－c＞b－d(异向不等式相减)

　③a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd(同向不等式相乘)

　④a＞b＞0，0＜c＜d＞ (异向不等式相除)

　⑤a＞b＞0＞ (nZ，且n＞1)(开方法则)

　⑥a＞b＞0aⁿ＞bⁿ(nZ，且n＞1)(乘方法则)