3．设，是互相垂直的单位向量，向量，，，则实数m为　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　(　　 　)

　　 A．-2　　　　 B．2　　　　　 C．　　　　 D．不存在

2．下列命题中，假命题为　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 　)

A． 若，则　　 B．若，则或

C．若k∈R，k，则k=0或

D．若，都是单位向量，则≤1恒成立

1．　 若ABCD是正方形，E是CD的中点，且，，则= (　　 )　　　　　　　 A．　　 B．　C．　　 D．

1.函数、数列、不等式应用题、排列组合问题以选择填空为主。

2概率与统计问题训练以解答题为主。

2. 某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元计费.

设出租车一天行驶的路程数ξ(按整km数计算，不足1km的自动计为1km)是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量.已知一个司机在某个月每次出车都超过了3 km,且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300(km)，它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a²+3a、4a.

(1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差.

(2)求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差.

解析　 (1)由概率分布的性质有0.12+0.18+0.20+0.20+100a²+3a+4a=1.

∴100a²+7a=0.3,∴1 000a²+70a-3=0,a=,或a=-(舍去)，即a=0.03,

∴100a²+3a=0.18,4a=0.12,∴ξ的分布列为

∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km)

Dξ=50²×0.12+30²×0.18+10²×0.20+10²×0.20+30²×0.18+50²×0.12=964;

(2)由已知η=3(ξ-3)+6=3ξ-3(ξ>3,ξ∈Z),∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747(元)

Dη=D(3ξ-3)=3²Dξ=8 676.

1. 某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.

(Ⅰ)若存款利率为x,x∈(0，0.048)，试写出存款数量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式；

(Ⅱ)问存款利率为多少时，银行可获得最大收益？

解析：(Ⅰ)由题意知，存款量g(x)=kx,银行应该支付的利息h(x)=xg(x)=kx²,x∈(0,0.048).

(Ⅱ)设银行可获得收益为y，则y=0.048kx－kx²=－k(x－0.024)²+0.024²k,

当x=0.024时，y有最大值，∴存款利率定为0.024时，银行可获得最大收益.

6. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

(I)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

(II)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．

解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．

(I)解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是．

解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

该人参加过两项培训的概率是．

所以该人参加过培训的概率是．

(II)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，，，即的分布列是

	0	1	2	3
	0.001	0.027	0. 243	0.729

的期望是．

(或的期望是)

7某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件，月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个A、2个B，组装一件Q产品要6个A、8个B，该厂在某个月能用的A零件最多14000个；B零件最多12000个　 已知P产品每件利润1000元，Q产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P、Q产品各多少件？最大利润多少万元　

7解　 设分别生产P、Q产品x件、y件，则有，，，设利润S=1000x+2000y=1000(x+2y)，要使利润S最大，只需求x+2y的最大值，　 x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n)

∴，　 ∴，有x+2y=(2x+3y)+(x+4y)≤×7000+×6000 当且仅当解得时取等号，此时最大利润S_max=1000(x+2y)=4000000=400(万元)　

另外此题可运用“线性规划模型”解决　 (万元/百台)=240(元/台)　

8某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元　

(1)若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？

(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案　 ①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？

8解　 由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f(n),则f(n)=50n–［12n+×4］–72=–2n²+40n–72

(1)获纯利润就是要求f(n)>0,∴–2n²+40n–72>0，解得2<n<18　 由n∈N知从第三年开始获利　

(2)①年平均利润==40–2(n+)≤16　 当且仅当n=6时取等号　 故此方案先获利6×16+48=144(万美元)，此时n=6,②f(n)=–2(n–10)²+128　

当n=10时，f(n)|_max=128　 故第②种方案共获利128+16=144(万美元)　

故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案　

4　　　　　　 创新试题

5.　 甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过测试的概率比丙大.

(Ⅰ)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；

(Ⅱ)求测试结束后通过的人数的数学期望.

5解(Ⅰ)设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、依题意得：

即　 或　 (舍去)

所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、.　　　

(Ⅱ)因为　 ，，

_，所以= 。　　　　

4. 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据

t(时)	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y(米)	1　 5	1　 0	0　 5	1　 0	1　 49	1	0　 51	0　 99	1　 5

经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b　

(1)根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8　 00至晚上20　 00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动　

4解　 (1)由表中数据，知T=12，ω=　 由t=0,y=1　 5得A+b=1　 5　

由t=3,y=1　 0,得b=1　 0　 所以，A=0　 5,b=1　 振幅A=，∴y=

(2)由题意知，当y>1时，才可对冲浪者开放　 ∴>1, >0　 ∴2kπ–,即有12k–3<t<13k+3　 由0≤t≤24,故可令k=0,1,2,得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24　 ∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9　 00至下午15　 00

3. 我校现有教职员工500人，为了开展迎2008奥运全民健身活动，增强教职员工体质，学校工会鼓励大家积极参加晨练与晚练，每天清晨与晚上定时开放运动场、健身房和乒乓球室，约有30%的教职员工坚持每天锻炼. 据调查统计，每次去户外锻炼的人有10%下次去室内锻炼，而在室内锻炼的人有20%下次去户外锻炼. 请问，随着时间的推移，去户外锻炼的人数能否趋于稳定？稳定在多少人左右？

解：设第n次去户外锻炼的人数为，去室内锻炼的人为，则有： ， ，

　，，

　 ，∴随着时间的推移，去户外锻炼的人数将稳定在100人左右　 。