3．过点A(－1，2)作直线，若直线在两条坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线有(　 )

　　 A．1条　　　　　　 B．2条　　　　　　 C．3条　　　　　　 D．4条　　

2．设是集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，则A∩B一定是　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　 B．或{1}　　　　　　　 C．{1}　　　　　　　　　　 D．或{2}

1．条件，条件，则是的　　 (　　 )

　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件

　 C．充要条件　　　　　　　　　　　　　 D．既不充分又不必要条件

(17)(本小题满分12分)

解: (1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为种，……………………1＇

其中次品数不超过1件有种，…………………………………………………2＇

被检验认为是合格的概率为……………4＇(本步正确，对上两步不作要求)

．……………………………………………………6＇

(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，…………………………………………7＇

因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，

故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为

…………………………………10＇

．…………………………………………11＇

答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为．

…………………………………………………………………………………………………12＇

说明：两小题中没有简要的分析过程，各扣1分．

(18)(本小题满分12分)

解：f(x)=cosqsinx－(sinxcosq－cosxsinq)+(tanq－2)sinx－sinq

　　　 =sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq．……………………………………………………1¢

因为f(x)是偶函数，

所以对任意xÎR，都有f(－x)=f(x)，……………………………………………………2¢

即sinqcos(－x)+(tanq－2)sin(－x)－sinq=sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq,

即(tanq－2)sinx=0，

所以tanq=2．……………………………………………………………………………5¢

由…………………………………………………………………6¢

解得

或……………………………………………………………………8¢

此时，f(x)=sinq(cosx－1).

当sinq=时，f(x)=(cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；.……9¢

当sinq=时，f(x)=(cosx－1)最小值为0，

当cosx=－1时，f(x)有最大值为,…………………………………………11¢

自变量x的集合为{x|x=2kp+p,kÎZ}．.…………………………………………………12¢

(19)(本小题满分12分)

解法一：

(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.

设，

，

(Ⅱ)，

.

解法二：

(Ⅰ)连结交于点，取中点，连结，则∥．

∴直线与所成的角就是异面直线与所成的角．

设，

则 ，

．　　

　　 ．

中，，，

直三棱柱中，，则．

(Ⅱ)直三棱柱中，，平面．

又，，，

　 平面．　 又平面，

　 平面平面．

(20)(本小题满分12分)

解：(I)设f(x)=ax²+bx+c，则f ¢(x)=2ax+b．………………………………………………1¢

　　 由题设可得：即…………………………………………4¢

解得…………………………………………………………………………5¢

所以f(x)=x²-2x-3．……………………………………………………………………6¢

　 (II)g(x)=f(x²)=x⁴－2x²－3，g ¢(x)=4x³－4x=4x(x－1)(x+1)．………………………8¢

列表：

　　 ………………………………………………………………………………………11¢

　　 由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．………………………12¢

(21)(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)时，的项都是中的项；…………………2＇(任一非负偶数均可)

时，的项不都是中的项．……………………3＇(任一正奇数均可)

　 (Ⅱ)时，…………………………………………………4＇

……………………………………………………………5＇

的项一定都是中的项．……………………………………………………………………………7＇

(Ⅲ)当且仅当取(即非负偶数)时，的项都是中的项．理由是：……………………………………………………………………………………………9＇

①当时，

时，，

其中是的非负整数倍，设为()，

只要取即(为正整数)即可得，即的项都是中的项；……11＇

②当时，不是整数，也不可能是的项．…………12＇

(22)(本小题满分14分)

解：(Ⅰ)①若直线∥轴，则点为；………………………………………………1＇

②设直线，并设点的坐标分别是，

由消去，得 ，　　 ①……………………2＇

由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以．……………………………………………………………4＇

由及方程①，得，

，

即…………………………………………………………………………6＇

由于(否则，直线与椭圆无公共点)，将上方程组两式相除得，，代入到方程，得，整理，得(．

综上所述，点的轨迹方程为(．……………………8＇

(Ⅱ)①当∥轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，，所以，；……………………………………………9＇

②由方程①，得

所以，，

，

所以．…………………………………………………12＇

因为，所以，所以，所以．

综上所述，．…………………………………………………………14＇

(13)； (14)；　 (15)；　 (16)2．

(1)C (2)D (3) B (4)D (5) B (6) B (7)C (8)C (9)D (10)C (11)A (12)C

(17)(本小题满分12分)

某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．

(1)求该盒产品被检验合格的概率；

(2)若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．

(18)(本小题满分12分)

已知偶函数f(x)=cosqsinx－sin(x－q)+(tanq－2)sinx－sinq的最小值是0，求f(x)的最大值及此时x的集合．

(19) (本小题满分12分)

如图，直三棱柱中，，，为棱的中点．

		B
	C

已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．

(I)求f(x)的解析式；

(II)求函数g(x)=f(x²)的单调递增区间

(21) (本小题满分12分)

等差数列中，，公差是自然数，等比数列中，．

(1)试找出一个的值，使的所有项都是中的项；再找出一个的值，使的项不都是中的项(不必证明)；

(Ⅱ)判断时，是否所有的项都是中的项， 并证明你的结论；

(Ⅲ)探索当且仅当取怎样的自然数时，的所有项都是中的项，并说明理由．

(22)(本小题满分14分)

如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点．

(Ⅰ)若，求点的轨迹方程；

(Ⅱ)求的取值范围．

高三数学第一次质量检测

参考解答及评分标准

(13)如图，已知点是棱长为2的正方体的棱的中点，则点到平面的距离等于_____________．

(14)若，则数列的前项和_____________．

(15)已知则　　　　　 ．

(16)有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时，　　　　　 秒．

　四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

(1)与向量平行的单位向量为(　 )

A．　　　　　　　　　　　　 B．

　C．或　　　　　 　D．　　　　

(2)函数的定义域为(　 )

A.．　　　　　　　　 B．　

　C．　　　　　　　　　　　　　 D．

(3)已知样本:

那么频率为0.3的范围是(　 )

　　 A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

(4)已知直线m、n和平面，则m∥n的一个必要条件是(　　 )

A．m∥，n∥　　　　　　　　　　　 B．m⊥，n⊥

C．m∥，n　　　　　　　　　 　　D．m、n与成等角

(5)若正数满足，则的取值范围是(　　 )

A．　　　 B．　　　 C．　　　　 D．

(6)设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为(　　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 D．

(7)若函数y=f(x) (xÎR)满足f(x+2)=f(x)，且xÎ(－1,1]时，f(x)=|x|．则函数y=f(x)的图象与函数y=log₄|x|的图象的交点的个数为(　　 )

A．3　　　　　　　　　 B．4　　　　　　　　　 C．6　　　　　　　 D．8

(8)已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是(　　 )

A．　　　　　　　　 B．4 　　　　　　　　C．　　　　　　　 D．5

(9)已知函数的图象与函数的图象关于

直线对称，则的值为　 (　 )

A．1　　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．2　　　　　　 D．

(10)能够使得圆上恰有两个点到直线距离等于1的的一个值为(　　 )

A．2　　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．3　　　　　　 D．

(11)关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)，则关于x的不等式的解集是(　 )

A．(-∞,-1)∪(2,+∞)　　　 B．(-1,2)　　　　 C．(1,2)　　　　 D．(-∞,1)∪(2,+∞)

(12)由0，1，2，…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为(　　 )

A.180　　　　　　　　　 B.196　　　　　　 C.210　　　　 　　D.224

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

(17)(本小题满分12分)

解: (1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为种，……………………1＇

其中次品数不超过1件有种，…………………………………………………2＇

被检验认为是合格的概率为……………4＇(本步正确，对上两步不作要求)

．……………………………………………………6＇

(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，…………………………………………7＇

因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，

故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为

…………………………………10＇

．…………………………………………11＇

答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为．

…………………………………………………………………………………………………12＇

说明：两小题中没有简要的分析过程，各扣1分．

(18)(本小题满分12分)

解：f(x)=cosqsinx－(sinxcosq－cosxsinq)+(tanq－2)sinx－sinq

　　　 =sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq．……………………………………………………1¢

因为f(x)是偶函数，

所以对任意xÎR，都有f(－x)=f(x)，……………………………………………………2¢

即sinqcos(－x)+(tanq－2)sin(－x)－sinq=sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq,

即(tanq－2)sinx=0，

所以tanq=2．……………………………………………………………………………5¢

由…………………………………………………………………6¢

解得

或……………………………………………………………………8¢

此时，f(x)=sinq(cosx－1).

当sinq=时，f(x)=(cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；.……9¢

当sinq=时，f(x)=(cosx－1)最小值为0，

当cosx=－1时，f(x)有最大值为,…………………………………………11¢

自变量x的集合为{x|x=2kp+p,kÎZ}．.…………………………………………………12¢

(19)(本小题满分12分)

解法一：

(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.

设，

，

(Ⅱ)，

.

解法二：

(Ⅰ)连结交于点，取中点，连结，则∥．

∴直线与所成的角就是异面直线与所成的角．

设，

则 ，

．　　

　　 ．

中，，，

直三棱柱中，，则．

(Ⅱ)直三棱柱中，，平面．

又，，，

　 平面．　 又平面，

　 平面平面．

(20)(本小题满分12分)

解：(I)设f(x)=ax²+bx+c，则f ¢(x)=2ax+b．………………………………………………1¢

　　 由题设可得：即…………………………………………4¢

解得…………………………………………………………………………5¢

所以f(x)=x²-2x-3．……………………………………………………………………6¢

　 (II)g(x)=f(x²)=x⁴－2x²－3，g ¢(x)=4x³－4x=4x(x－1)(x+1)．………………………8¢

列表：

　　 ………………………………………………………………………………………11¢

　　 由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．………………………12¢

(21)(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)时，的项都是中的项；…………………2＇(任一非负偶数均可)

时，的项不都是中的项．……………………3＇(任一正奇数均可)

　 (Ⅱ)时，…………………………………………………4＇

……………………………………………………………5＇

的项一定都是中的项．……………………………………………………………………………7＇

(Ⅲ)当且仅当取(即非负偶数)时，的项都是中的项．理由是：……………………………………………………………………………………………9＇

①当时，

时，，

其中是的非负整数倍，设为()，

只要取即(为正整数)即可得，即的项都是中的项；……11＇

②当时，不是整数，也不可能是的项．…………12＇

(22)(本小题满分14分)

解：(Ⅰ)①若直线∥轴，则点为；………………………………………………1＇

②设直线，并设点的坐标分别是，

由消去，得 ，　　 ①……………………2＇

由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以．……………………………………………………………4＇

由及方程①，得，

，

即…………………………………………………………………………6＇

由于(否则，直线与椭圆无公共点)，将上方程组两式相除得，，代入到方程，得，整理，得(．

综上所述，点的轨迹方程为(．……………………8＇

(Ⅱ)①当∥轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，，所以，；……………………………………………9＇

②由方程①，得

所以，，

，

所以．…………………………………………………12＇

因为，所以，所以，所以．

综上所述，．…………………………………………………………14＇