9．如图27－3，已知椭圆+y²＝1的左、右顶点分别为A₁和A₂，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P₁和P₂，其中P₁的纵坐标为正数，求直线A₁P₁与A₂P₂的交点M的轨迹方程．

8．已知△ABC中，A(－2，0)，B(2，0)，顶点C在直线l：y＝3上移动，求△ABC垂心H的轨迹方程．

7．已知抛物线C：y²＝4x，若椭圆的左焦点及相应准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合(图26－2)，求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程．

6．已知椭圆E经过定点M(1，0)，以直线x+2＝0为准线，离心率为，求椭圆E的左顶点的轨迹方程．

5．已知两直线l₁：2x－3y+2＝0，l₂：3x－2y+3＝0，有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l₁，l₂都相交，并且截l₁，l₂所得的弦长分别是定值26和24，求圆心M的轨迹方程．

4．已知直线l：y＝k(x－5)及圆C：x²+y²＝16．

　 (1)若直线l与圆C相切，求k的值；

　 (2)若直线l与圆C交于A、B两点，求当k变动时，弦AB的中点的轨迹．

3．求与两定圆x²+y²＝1，x²+y²－8x－33＝0都相切的动圆圆心的轨迹方程．

2．动点P到直线x+4＝0的距离比到定点M(2，0)的距离大2，求点P的轨迹．

例1．过M(1，3)作两条互相垂直的直线l₁和l₂，l₁与x轴交于A点，l₂与y轴交于B点，求线段AB中点的轨迹．

分析：求动点的轨迹可以通过求动点的轨迹方程来解；也可利用平面几何的知识来处理．

例2．已知椭圆的两个焦点分别是F₁、F₂，△MF₁F₂的重心G恰为椭圆上的点，求M的轨迹方程．

分析：求轨迹方程的根本特点就是求出动点的横坐标x与纵坐标y满足的方程，即根据条件建立的等式关系．本题可以考虑用M的坐标表示重心G的坐标，利用G在椭圆上来解．

例3．过圆x²+y²＝4内一点A(1，0)作圆的弦，求弦的中点M的轨迹方程．

分析：可以看出，弦的中点M由弦所在的直线来决定，而弦所在的直线过定点，即直线仅由延伸方向来确定，故M直线的延伸方向来确定，所以，M的坐标可以用直线的斜率来表示；也可以利用弦中点的几何意义指出轨迹的特征．

例4．已知点A(－a，0)，B(a，0)(a＞0)．

(1)若动点M与A、B是一个直角三角形的三个顶点，求直角顶点M的轨迹方程；

(2)若动点M满足条件：∠MBA＝2∠MAB，求点M的轨迹方程．

分析：将动点满足的几何条件“坐标化”，即直接将几何条件通过有关定理、公式“翻译”成含有x、y的等式，就得到了轨迹(曲线)的方程．

例5．求与y轴相切，并与圆x²+y²－4x＝0相外切的动圆圆心M的轨迹方程．

分析：利用圆的切线、两圆外切的的几何意义，找出两点之间的距离和点到直线之间的距离之间的关系，先确定轨迹的几何特征，再写出轨迹方程．

例6．求过点M(1，－1)，离心率为，且以y轴为准线的椭圆的右焦点F的轨迹方程．

分析：依题意，y轴为椭圆的左准线，现已知e＝，故由椭圆的定义，有＝e(其中F′为椭圆的左焦点)．因而解本题的关键是寻求椭圆左焦点与右焦点坐标之间的关系．

例7．如图27－1，已知椭圆+y²＝1的左、右焦点分别为F₁和F₂，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P₁和P₂，其中P₁的纵坐标为正数，求直线F₁P₁与F₂P₂的交点M的轨迹方程．

分析：考虑到P₁，P₂是椭圆上两个关于x轴对称的点，点M同时在直线F₁P₁与F₂P₂上，可利用点M的坐标同时满足直线F₁P₁，F₂P₂的方程，消去有关参照量，建立M的轨迹方程．

例8．已知平面内两点M(－1，0)，N(1，0)，若动点P满足MP·MN，PM·PN，NM·NP成等差数列，且公差为负数，求点P的轨迹方程．

分析：将向量的数量积用P的坐标x，y表示，结合三个数成等差数列的等价条件，建立关于x，y的方程，就是P的轨迹．

巩固练习

1．已知椭圆的两个焦点分别是F₁，F₂，P是这个椭圆上的一个动点，延长F₁P到Q，使得｜PQ｜＝｜F₂P｜，求Q的轨迹．

3．掌握求轨迹方程的常用方法：直接法、代入法、交轨法和参数法．

已知曲线，怎样求出它的方程？这是解几学习中常遇到的一个问题．求曲线方程的过程有五个步骤，我们在具体解题时应注意：

①建立直角坐标系时，首先要考虑坐标系的定位问题，图形中的垂直、对称、平行等条件，是定位时必须优先考虑的条件，因为这将有利于后面的计算．

②步骤3是解题的关键步骤，目前初学阶段，一般将条件的几何意义直接代数化(即将几何语言“翻译”成代数语言，常见的有：两点间距离公式、夹角公式等等)即可．

③如果化简过程是同解变形，则证明也就可以省略了；若不是同解变形，如两边同时平方等，则方程解集可能扩大(或缩小)，则应把因化简引起方程解集扩大(或缩小)的部分舍去(或补上)．