19.(本小题满分13分)

某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元.设余下工程的总费用为万元.

(Ⅰ)试将表示成关于的函数；

(Ⅱ)需要修建多少个增压站才能使最小？

[解](I)设需要修建个增压站，则，即.　　　　　　　 (2分)

所以.(5分)

因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤120.　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

故y与x的函数关系是.　　　　　　　　　　　 (7分)

(II)设，则

.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

由，得，又0＜x≤120，则.　　　　　　　　　　　 (10分)

所以在区间内为增函数，在区间内为减函数.　　　　　　　　　 (11分)

所以当时，取最小值，此时.　　　　　　　　 (12分)

故需要修建19个增压站才能使最小.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (13分)

18.(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，乡村爱情AC⊥BC，AC＝BC＝CC₁，M、N分别是A₁B、B₁C₁的中点.

(Ⅰ)求证：MN⊥平面A₁BC；乡村爱情

(Ⅱ)求直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小. 乡村爱情

[解]解法一：(Ⅰ)由已知BC⊥AC，BC⊥CC₁，乡村爱情

所以BC⊥平面ACC₁A₁.连结AC₁，则BC⊥AC₁.　 乡村爱情　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

由已知，侧面ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC_1. (3分)

又，所以AC₁⊥平面A₁BC.　 乡村爱情　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

因为侧面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中点，连结AB₁，则点M是AB₁的中点.　　 (5分)

又点N是B₁C₁的中点，则MN是△AB₁C₁的中位线，所以MN∥AC₁.　

故MN⊥平面A₁BC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　(6分)

(Ⅱ)因为AC₁⊥平面A₁BC，设AC₁与A₁C相交于点D，

连结BD，则∠C₁BD为直线BC₁和平面A₁BC所成角.　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

设AC＝BC＝CC₁＝a，则，.　　　　　　　　　　　　　　 (10分)

在Rt△BDC₁中，sin∠C₁BD＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (11分)

所以∠C₁BD＝30º，故直线BC₁和平面A₁BC所成的角为30º.　　　　　　　　　 　(12分)

解法二：(Ⅰ)据题意CA、CB、CC₁两两垂直，以C为原点，

CA、CB、CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间

直角坐标系，如图.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

设AC＝BC＝CC₁＝a，则

，

，.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

所以，，.　　　　　　　　　　　　 (5分)

于是，，即MN⊥BA₁，MN⊥CA₁.　　　　　　　　　　　 (6分)

又，故MN⊥平面A₁BC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

(Ⅱ)因为MN⊥平面A₁BC，则为平面A₁BC的法向量，又，　 (9分)

则，所以.　　 (11分)

故直线BC₁和平面A₁BC所成的角为30º.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(12分)

17.(本小题满分12分)

本次高三数学月考试卷中共有8个选择题，乡村爱情每小题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的，乡村爱情选对得5分，不选或选错都得0分.某同学对每道题都选出了一个答案，已确定第1-4题的答案都是正确的，对第5、6两道题，乡村爱情他都可判断出其中有两个选项是错误的，但对另两个选项都不能确定哪个正确；对第7题，乡村爱情他可判断出其中一个选项是错误的，但对另三个选项不能确定哪个正确；对第8题，他不理解题意只能乱猜，且各题答对与否相互独立.

(Ⅰ)求该同学在这次月考中选择题至少答对7道题的概率；

(Ⅱ)估计该同学在这次月考中选择题的实际得分最有可能是多少分？

[解](Ⅰ)设该同学在这次月考中选择题“答对8道题”为事件A，“答对7道题”为事件B，则事件A与B互斥.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

据题意，第1-4题都答对为必然事件，第5、6题答对的概率都为，第7题答对的概率为，

第8题答对的概率为，且各题答对与否相互独立.　　 乡村爱情　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

所以.　　　　　 乡村爱情　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

.　　　　　　　　　 (5分)

　　 .

故该同学在这次月考中选择题至少答对7道题的概率是.　　　　　　　　　　　　 (6分)

(Ⅱ)设该同学在这次月考中选择题的总得分为ξ分乡村爱情，则ξ的可能取值为20，25，30，35，40. 乡村爱情

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

若ξ＝20，则只答对第1-4题，其余各题都答错，所以. (8分)

若ξ＝25，则第5-8题只答对1题，乡村爱情

所以.　　　　　　 (9分)

若ξ＝30，则第5-8题只答对2题，

.(10分)

由(Ⅰ)知，，.

所以.　　　　　　　 (11分)

估计该同学在这次月考中选择题的实际得分最有可能是30分.　　　　　　　　　　　 (12分)

16.(本小题满分12分)

在△ABC中，已知AB＝，BC＝1，cosC＝.乡村爱情

(Ⅰ)求sinA的值；

(Ⅱ)求的值.

[解](Ⅰ)因为cosC＝，则sinC＝.　　　 乡村爱情　　　　　　　　 (3分)

据正弦定理，有，所以sinA＝.　　 乡村爱情　　　 (6分)

(Ⅱ)由余弦定理，得.

设AC＝b，则乡村爱情，即.　　　　　　 乡村爱情　　　　　　 (8分)

解得b＝2或b＝(舍去)乡村爱情，AC＝2.　　　　 乡村爱情　　　　 乡村爱情　　　　　　　　　　　 (9分)

故.　　　　　　　　　 (12分)

15.对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称函数f(x)为“科比函数”.

(1)给出下列两个函数：①；②，其中是“科比函数”的函数序号是 ② .

(2)若函数是“科比函数”， 乡村爱情则实数k的取值范围是.

[解](1)因为是增函数，乡村爱情若f(x)为“科比函数”，则f(a)＝a，f(b)＝b，即

a+1＝a，b+1＝b，无解，所以不是“科比函数”.

因为当x∈[0，1]时，∈[0，1]，所以是“科比函数”.

(2)因为是增函数，若是“科比函数”，则存在实数a，b(－2≤a＜b)，使，即.所以a，b为方程的两个实数根，从而方程有两个不等实根. 乡村爱情

令，则.当t＝0时，k＝－2；当t＝时，k＝.

由图可知，当时，直线y＝k与曲线有两个不同交点，即方程有两个不等实根，故实数k的取值范围是.乡村爱情

乡村爱情

14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，以AB为直径的圆交乡村爱情BC于点D，过点D作该圆的切线，交AC于点E，则CE＝. 乡村爱情

[解]设圆心为O，连结OD，AD，则OD⊥DE，AD⊥BC.

因为AB＝AC，所以D为BC的中点，从而OD是△ABC的乡村爱情

中位线，所以OD∥AC，于是AC⊥DE.

在Rt△ADC中，由射影定理，得CD²＝CE·CA. 乡村爱情

因为CD＝3，CA＝4，所以CE＝.

13.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：°C)之间有下列数据：

甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：

①；②；③，其中正确方程的序号是 　②　 .

[解]因为，.

由于回归方程必过点()，将点(0，2.8)逐一代入验证得，乡村爱情方程②满足要求.

12.已知实数x，y满足，乡村爱情由柯西不等式可得x+y的最小值为　 2　 .

[解]由柯西不等式，得，即

，所以x+y≥2.当且仅当，即时等号成立，故x+y的最小值为2.

11.已知平面向量a，b，c满足：a⊥c，b·c＝－2，|c|＝2，若存在实数λ使得c＝a+λb，则λ的值为 　－2　 . 乡村爱情

[解]由已知，，即＝+.乡村爱情

又＝2，＝0，＝－2，所以－2＝4，即.乡村爱情

10.某企业在今年九月生产了A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下统计表格：

产品类别	A	B	C
产品数量(件)		1300
样本容量		130

　 由于统计员不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，但统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件.根据以上信息，可得C产品的数量是　 800 　件．

[解]设C产品的样本容量为，因为抽样比例为，则乡村爱情

，解得．所以C产品的数量是件．