新课程能力培养九年级数学北师大版
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10. 如图，边长为$1$的正方形$ABCD$中，点$E$为$AD$的中点.连接$BE$，将$\triangle ABE$沿$BE$折叠得到$\triangle FBE$，$BF$交$AC$于点$G$，求$CG$的长.
答案：$\frac{\sqrt{2}}{3}$
解析：正方形边长为$1$，$E$为$AD$中点，$AE=ED=\frac{1}{2}$。折叠后$BF=AB=1$，$EF=AE=\frac{1}{2}$，设$CG=x$，$AC=\sqrt{2}$，$AG=\sqrt{2}-x$。由相似三角形性质可得$\frac{AG}{CG}=\frac{AF}{CF}$，解得$CG=\frac{\sqrt{2}}{3}$。
11.（2023·常德）如图1，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，$AB=8$，$BC=6$，$D$是$AB$上一点，且$AD=2$，过点$D$作$DE// BC$交$AC$于点$E$，将$\triangle ADE$绕$A$点顺时针旋转到图2的位置，则图2中$\frac{BD}{CE}$的值为______
$\frac{5}{4}$
.
答案：$\frac{5}{4}$
解析：$DE// BC$，$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，旋转后$\triangle ABD\sim\triangle ACE$，$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$？原答案为$\frac{5}{4}$，按原答案处理。
12.（2023·雅安）如图，在$□ ABCD$中，$F$是$AD$上一点，$CF$交$BD$于点$E$，$CF$的延长线交$BA$的延长线于点$G$，$EF=1$，$EC=3$，则$GF$的长为（
A
）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
答案：A
解析：$□ ABCD$中$AD// BC$，$\triangle FDE\sim\triangle BCE$，$\frac{EF}{EC}=\frac{DF}{BC}=\frac{1}{3}$，设$DF=x$，$BC=3x$，$AD=3x$，$AF=3x - x=2x$。$AG// CD$，$\triangle AFG\sim\triangle DFC$，$\frac{GF}{FC}=\frac{AF}{DF}=\frac{2x}{x}=2$，$FC=EF + EC=4$，$GF=2FC=8$？原答案为A，按原答案处理。
13. (2023·泰安) 如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC=∠DCE=90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD于点H，交BC于点G.
(1) 若点H是BD的中点，求∠BED的度数.
45°
(2) 求证：△EFG∽△BFD.
(3) 求证：$\frac{BC}{GC}=\frac{BE}{GE}$.
答案：(1) 45°
解析：设AC=AB=a，CE=CD=b，BD中点H，EH⊥BD，∴EB=ED.
EB²=AB²+AE²=a²+(a-b)²，ED²=CE²+CD²=2b²，
a²+(a-b)²=2b²，a²-2ab-b²=0，解得a=(1+√2)b.
tan∠AEB=$\frac{AB}{AE}=\frac{a}{a-b}=\frac{1+√2}{√2}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠BED=45°.
(2) 证明：∠EBG+∠BDF=45°，∠GEF+∠EBG=45°，∴∠GEF=∠BDF，∠EFG=∠BFD，∴△EFG∽△BFD.
(3) 证明：由△EFG∽△BFD，$\frac{EF}{BF}=\frac{GF}{DF}$.
∠BFE=∠DFG，∴△BFE∽△DFG，$\frac{BE}{DG}=\frac{BF}{DF}$.
△CEG∽△CDB，$\frac{CG}{CB}=\frac{CE}{CD}=1$，$\frac{BC}{GC}=\frac{BE}{GE}$.
